ТЭЦ - DC / 04 Лекция - Методы конт. токов, узл. напряжений / Circuit Example 2.4 - Nodal Analysis

Анализ электрической цепи при помощи метода узловых потенциалов (узловых напряжений)

Возьмем для примера ту же самую цепь.

(В электрической цепи, изображенной на рисунке E₁= 50 В, E₂= 10 В, R₁ = 3 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 2 Ом, R_int1 = 0,4 Ом, R_int2 = 1 Ом. Требуется определить токи в ветвях.)

Преобразуем ветви с источниками ЭДС (напряжения) в ветви с источниками тока.

, .

Преобразуем сопротивление R₃ в проводимость G₃:

.

О бозначим , _, в результате получим схему цепи, изображенную на рисунке.

Выберем на схеме электрической цепи т.н. базисный узел – узел 2. Обозначим напряжение между оставшимся узлом и базисным U₁.

Составим уравнение одно уравнение для узла 1 в соответствии с ЗТК, как и ранее:

J₁ + J₂ - I₃= 0.

Учитывая, что I₃ = U₁·(G₁ + G₃ + G₂), уравнение можно записать в виде:

U₁·(G₁ + G₃ + G₂) = J₁ + J₂, (****)

Полученное уравнение представляет собой предельный случай сложной цепи, в которой имеется всего один узел, отличный от нуля. Если таких узлов имеется более одного, уравнение (****) превращается в систему n-го порядка, где n - число узлов, отличных от базисного, т.е. количество узлов в схеме за исключением базисного.

Подставим численные значения и решим уравнение.

= 0,294 (См); = 0,333 (См); = 0,50 (См).

= 14,7 (А); = 3,33 (А).

U₁·(0,294 + 0,50 + 0,333) = 14,7 + 3,33

Отсюда U₁·= 16,0 (В).

Имея напряжение в узле 1 относительно узла 2 можно по закону Ома определить токи в ветвях.

I₃= U₁·G₃ = 16,0·0,5 = 8 (А);

I₁ = (E₁ –·U₁) ·G₁ = (50 – 16,0) ·0,294 = 10,0 (А);

I₂ = (E₂ –·U₁) ·G₂ = (10 – 16,0) ·0,333 = -2,0 (А);

Знак перед током I₂ указывает, что истинное направление тока противоположно тому, которое указано на схеме цепи.

Возвращаясь к уравнению для узлового напряжения U_1, отметим, что в общем виде, при наличии n узлов, цепь описывается системой линейных уравнений вида:

(*****)

где G_kk – собственная проводимость k-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом k, G_ik, i≠k, взаимная проводимость, равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы i и k.

Для взаимной проводимости справедливо G_ik = G_ki для электрических цепей, которые не содержат зависимых источников и у которых все узловые напряжения направлены к базисному узлу.

В правой части приведены узловые токи, возникающие от источников; эти токи равны сумме токов от всех источников, подсоединенных к данному узлу.

Таким образом, при расчете цепей узловых напряжений целесообразно придерживаться следующего порядка.

1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю, а затем пронумеровать все остальные узлы.

2. Вычислить собственные и взаимные проводимости узлов, а также узловые токи, суммируя токи от источников в узлах.

3. Составить систему уравнений для узловых напряжений.

4. Решить систему полученных линейных уравнений одним из известных методов, например, подстановки, с помощью определителей, методом исключения.

5. Зная узловые напряжения, определить напряжения ветвей и токи в ветвях по закону Ома.

Составление системы уравнения может быть формализовано. А именно:

• для составления матрицы левой части системы уравнений (*****) необходимо сложить все проводимости, подключенные к каждому узлу. Полученные собственные проводимости узлов записываются в матрицу по главной диагонали – элемент G_ii. Взаимные проводимости G_ik = G_ki (i≠k), равные проводимости, соединяющей узлы i и k, записываются симметрично относительно главной диагонали со знаком «-». Матрица симметрична для всех цепей, в которых нет зависимых источников (тока или напряжения).

• Для формирования вектора правой части системы уравнений (*****) необходимо суммировать токи всех источников, соединенных с данным узлом. При этом токи, втекающие в узел берутся со знаком «+», а вытекающие - со знаком «-».

Преимущества метода узловых напряжений:

• Метод применим как к планарным схемам (цепям), т.е. цепям, которые можно изобразить на плоскости без пересечения ветвей, так и не к планарным.

• Результаты хорошо интерпретируются с инженерной точки зрения, поскольку узловые напряжения относительно базисного узла («земли», «шасси», общего провода) очень часто представляют интерес с практической точки зрения.

• Метод легко поддается алгоритмизации.

Метод двух узлов

Вернемся к приведенному выше уравнению

U₁·(G₁ + G₃ + G₂) = J₁ + J_2.

Как уже говорилось, это уравнение, составленное по методу узловых потенциалов для случая узлов, равных 2. Поскольку один узел принят базовым, то система линейных уравнений включает всего один узел.

С практической точки зрения очень часто цепь может быть сведена к цепи с двумя узлами. В этом случае для определения токов в цепи целесообразно использовать вышеприведенную формулу. В силу важности этого приема расчета линейных цепей иногда его выделяют как отдельный метод «двух узлов».