ТЭЦ - DC / 04 Лекция - Методы конт. токов, узл. напряжений / Circuit Example 2.4 - Kirchhoff's Laws

Анализ электрической цепи c использованием уравнений, составленных по законам Кирхгофа

В электрической цепи, изображенной на рисунке E₁= 50 В, E₂= 10 В, R₁ = 3 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 2 Ом, R_int1 = 0,4 Ом, R_int2 = 1 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Решение. В цепи имеется три ветви. Следовательно, необходимо составить три независимых уравнения. Поскольку в цепи имеется два узла, можно составить одно уравнение в соответствии с законом Кирхгофа для токов (ЗТК). Оставшихся два уравнения составим по закону Кирхгофа для напряжений (ЗНК).

Обозначим на схеме электрической цепи узлы, стрелками обозначим направление токов в ветвях. Выберем два независимых контура и стрелками обозначим направление обхода.

Составим уравнение для узла 1 в соответствии с ЗТК:

I₁ + I₂ - I₃= 0;

Для выбранных независимых контуров составим два уравнения в соответствии с ЗКН:

Для контура I:

E₁ - (R₁ + R_int1)I₁ - R₃I₃ = 0.

Для контура II:

R₃I₃ + (R₂ + R_int2)I₂ - E₂ = 0.

Очевидно, имеется система из трех уравнений. Решим систему относительно токов I₁, I₂ , I₃ . Подставим численные значения:

(*)

Будем использовать метод подстановки. Выразим ток I₃ из первого уравнения:

I₃ = I₁ + I₂,

а затем подставим полученное выражение в оставшихся два уравнения:

Приведя подобные имеем:

Далее исключим одну переменную, умножив первое уравнение на - 2,5 и сложив со вторым, получаем:

- 2,5 (5,4I₁ + 2 I₂) +5I₂+2I₁ = - 2,5·50 + 10, а затем после приведения подобных получаем:

- 11,5I₁ = - 115,

т.е.

I₁ = 10 (А).

Из второго уравнения системы (*) имеем:

5,4·10 + 2 I₂ = 50, откуда

I₂ = - 2 (А)

Наконец, из первого уравнения системы (*) определяем ток I₃:

I₃ = 10 – 2 = 8 (А)

Отрицательное значение тока I₂ указывает, что в действительности направление этого тока в цепи противоположно тому, что показано на рисунке.

Для проверки правильности расчетов составим баланс мощностей. Мощность, рассеиваемая на резисторах:

P = (I₁)²·(R_int1+ R₁) + (I₂)² ·(R_int2+R₂) + (I₃)² R₃ = (10)²·3,4 + (-2)²·3 + (8)² ·2 = 340+12+128 = 480 (Вт).

Мощность, от источников ЭДС: P_s = E₁ I₁ + E₂ I₂ = 50·10+ 10 (-2) = 500 – 20 = 480 (Вт).

Баланс мощностей сошелся, следовательно, цепь рассчитана верно.

Итак, расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно проводить в следующем порядке:

1. Определить число узлов n и число ветвей b в электрической цепи. В соответствии с этим определить количество уравнений, которые необходимо составить по ЗТК и ЗНК

2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно выбрать их направления. Выбрать независимые замкнутые контуры цепи. Произвольно задать направление обхода контуров.

3. Составить n-1 уравнение по ЗТK.

4. Составить b – (n-1) уравнений по ЗНK.

5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если после решения системы оказывается, что некоторые токи получаются отрицательными, это означает, что в действительности их направления противоположны выбранным.