Лекции_2 / 15 Лекция

Аналогично можно показать, что для выполняется второй закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

Таким образом, (K/I, , ) – кольцо.

Определение 4.5.2. Кольцо (K/I, , ) классов вычетов по модулю двустороннего идеала I кольца (K, +, ) с индуцированными операциями сложения и умножения называется факторкольцом кольца K по двустороннему идеалу I.

Поскольку операции  и  полностью определяются сложением и умножением в кольце (K, +, ), то свойства этих операций переносятся на (K/I, , ). Если K – ассоциативное кольцо, кольцо с единицей, коммутативное кольцо, то и (K/I,   также будет соответственно ассоциативным кольцом, кольцом с единицей , коммутативным кольцом.

Пример 4.5.1. Кольцо классов вычетов (Z/nZ, , ) есть факторкольцо кольца (Z, +, ) по идеалу I = nZ = < n >, где . Сложение и умножение в данном факторкольце при могут быть заданы таблицами Кэли, об этом уже говорилось в §1.7, §3.2 и §3.6.

Пример 4.5.2. Возьмем в кольце полиномов P[x] произвольный собственный идеал I = < f(x) > для некоторого полинома f(x) степени  В один класс вычетов по модулю I попадают те и только те полиномы, которые имеют один и тот же остаток r(x) от деления на f(x). Следовательно, фактормножество P[x]/I состоит из классов  = {r(x) + f(x)q(x) | q(x)P[x]} = r(x) + I, где степень r(x) меньше степени f(x). Результатом сложения или умножения таких классов вычетов является соответственно класс, представитель которого есть остаток от деления на f(x) суммы или произведения представителей данных классов.

Из сказанного выше следует в частности, что фактормножество (Z/pZ[x])/< f(x) > при простом р конечно. Поэтому сложение и умножение в факторкольце ((Z/pZ[x])/< f(x) >, , ) можно задать в виде таблиц Кэли.

В дальнейшем будем часто использовать обозначение F_q для конечного поля из q элементов, в частности F_p для поля (Z/рZ, , ) при простом р.

Пример 4.5.3. Ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей F₂[x]/< x²+x+1 > состоит из классов вычетов , , , по модулю главного двустороннего идеала < x²+x+1 >. Построим таблицы Кэли сложения и умножения в этом факторкольце (см. таблицы 4.5.1 и 4.5.2 соответственно).

Таблица 4.5.1



Таблица 4.5.2



Из таблицы умножения 4.5.2 следует, что в кольце F₂[x]/< x²+x+1 > все ненулевые классы вычетов по модулю идеала < x²+x+1 > обратимы. Следовательно, (F₂[x]/< x²+x+1 >, , ) – поле из четырех элементов, являющееся расширением поля , где .

Лемма 4.5.1. Мощность фактормножества F_p[x]/< f(x) > при deg f = n  1 равна .

О структуре F_p[x]/< f(x) > уже говорилось в примере 4.5.2. Поэтому мощность F_p[x]/< f(x) > равна количеству всех многочленов из P[x], степени которых меньше n. Это количество равно

p + p(p – 1) +,

поскольку количество многочленов 0-й степени равно | F_p | = p, а количество многочленов i-й степени равно , где . Старшие коэффициенты многочлена степени i  1 принимают p – 1 значений (отличны от 0), остальные коэффициенты принимают p различных значений.

В частности число элементов в F₂[x]/< f(x) > при deg f = n  1 равно 2ⁿ. В примере 4.5.3 n = 2, поэтому поле (F₂[x]/< x²+x+1 >, , ) состоит из четырех элементов.