Глава III. Элементы теории групп

§3.1. Понятие алгебраической системы

Определение 3.1.1. Пусть X – непустое множество. Бинарной алгебраической операцией на множестве X называется всякое правило f, по которому каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y  X ставится в соответствие один вполне определенный элемент z из X. Таким образом, функция f : X ²  X, .

Аналогично можно определить n-арную алгебраическую операцию для  n  N. В дальнейшем будем рассматривать только бинарные алгебраические операции. Обычно для обозначения операций используются знаки , , , ,  и т.п. Воспользуемся первым из обозначений, тогда в определении 3.1.1 z = .

Определение 3.1.2. Если на множестве X задана одна или несколько алгебраических операций, то говорят, что X есть алгебраическая система с данными операциями.

Пример 3.1.1. (N, +), (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (Z/nZ, +, ),  n  N, – алгебраические системы с бинарными операциями сложения и умножения.

Алгебраические системы различают по количеству и свойствам операций.

Определение 3.1.3. Алгебраическая система (X, ) на множестве X с одной алгебраической операцией  называется группоидом. Если у группоида (X, ) операция  ассоциативна: a  (b  c) = (a  b)  c для любых a, b, c  X, то такую алгебраическую систему называют полугруппой. Моноидом (X, ) называют полугруппу с единицей или нейтральным элементом, то есть таким элементом e  X, что e  x = x  e = x для каждого x  X.

Из определения нейтрального элемента следует его единственность в моноиде: если e₁ и e₂ – нейтральные элементы, то

Пример 3.1.2.

1. (Z, –) – группоид, но не полугруппа, поскольку операция вычитания не ассоциативна: (5 – 2) – 1 = 3 – 1 = 2, а 5 – (2 – 1) = 5 – 1 = 4.

2. (N, +) – полугруппа, но не моноид, поскольку в N нет нейтрального элемента относительно сложения.

3. (Z, ), (Z/nZ, ),  n  N, – моноиды.

Определение 3.1.4. Моноид (X, ), у которого каждый элемент обратим, то есть для всякого x  X существует обратный элемент y  X такой, что x  y = y  x = e (тогда пишут y = ), называется группой.

Из ассоциативности операции  и определения 3.1.4 следует, что обратный элемент в группе (X, ) единственный для каждого x  X: пусть y₁ и y₂ – обратные элементы к х, тогда

.

Пример 3.1.3. Примерами групп являются моноиды: (Z, +), (Q^*, ), (R^*, ), (C^*, ), ({–1, 1}, ), (Z/nZ, +), (Z/nZ^*, ) для  n  N. A^* обозначает здесь и в дальнейшем множество всех обратимых элементов относительно некоторой бинарной алгебраической операции, заданной на множестве A. В частности Q^* = Q\{0}, R^* = R\{0}, C^* = C\{0}, , для любого простого числа p.

В следующей главе будут рассмотрены кольца, поля, тела – алгебраические системы с двумя бинарными алгебраическими операциями. В данной главе остановимся на рассмотрении наиболее популярных алгебраических систем с одной операцией – группах.

§3.2. Группы, их основные свойства и типы

Дадим независимое определение группы.

Определение 3.2.1. Группой называется непустое множество G с определенной на нем бинарной алгебраической операцией , которая обладает свойствами:

1) ассоциативность – (ab)c = a(bc) для любых a, b, c  G;

2) существует нейтральный элемент, то есть такой элемент e  G, что ge = eg = g для каждого g  G;

3) каждый элемент g  G имеет обратный, то есть такой элемент h  G, что gh = hg = e.

В любой группе нейтральный элемент и обратный к каждому элементу единственны в силу их определений и ассоциативности операции. Знак групповой операции , как и знак умножения, можно в записи опускать.

Определение 3.2.2. Абелевой (Нильс Абель (1802–1829) – норвежский математик) или коммутативной называется группа (G, ) со свойством ab = ba для произвольных a, b  G, в противном случае группа называется неабелевой или некоммутативной.

Определение 3.2.3. Группа относительно операции сложения называется аддитивной группой. Исторически так сложилось, что все аддитивные группы абелевы. Нейтральный элемент аддитивной группы называют нулем и обозначают символом 0, а обратный элемент к элементу a – противоположным и обозначают – a.

Пример 3.2.1. Аддитивные группы: (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Z/nZ, +) для  n  N.

Пример 3.2.2. Пусть K – одно из множеств: Z, Q, R, C или Z/kZ для  k  N. К аддитивным относятся группы (M_m  n(K), +) – множество прямоугольных матриц порядка m  n (m, n  N – произвольные фиксированные числа) с коэффициентами из множества K относительно операции сложения матриц и (V_n(K), +) – множество n-мерных векторов с компонентами из множества K относительно операции векторного сложения (n  N – произвольное фиксированное число).

Определение 3.2.4. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной группой. Нейтральный элемент мультипликативной группы называют единицей и часто обозначают символом 1, а обратный элемент к элементу a обозначают a^–1.

Пример 3.2.3. Примерами абелевых мультипликативных групп являются (Q^*, ), (R^*, ), (C^*, ), ({–1, 1}, ), (Z/nZ^*, ) для  n  N.

Пример 3.2.4. Пусть K – одно из множеств: Q, R или C. Полной линейной группой GL_n(K) (от англ. general linear group – «полная линейная группа») называется множество всех квадратных матриц порядка n  N с коэффициентами из K и ненулевым определителем с операцией матричного умножения. GL_n(K) является неабелевой мультипликативной группой при , так как произведение матриц не коммутативно в общем случае.

Определение 3.2.5. Группа (G, ) называется конечной, если G – конечное множество, в противном случае – бесконечной. Порядком конечной группы | G | называется мощность множества G.

Алгебраическая операция в конечной группе может быть задана таблицей Кэли.

Пример 3.2.5. Конечными являются группы: (Z/nZ, +) порядка n, (Z/nZ^*, ) порядка 1 при n = 1 и порядка (n) при , (M_m  n(Z/kZ), +) порядка k^mn, (V_n(Z/kZ), +) порядка kⁿ. Бесконечные группы: (K, +), (M_m  n(K), +), (V_n(K), +), где K – одно из множеств: Z, Q, R или C, а также (K^*, ) и GL_n(K), где K – одно из множеств: Q, R или C.

Для каждого n  N существуют абелевы аддитивная и мультипликативная группы порядка n. Примерами таких групп являются (Z/nZ, +) и C_n – мультипликативная группа всех комплексных корней n-ой степени из 1, то есть чисел , в частности С₂ = ({–1, 1}, ).

§3.3. Подгруппы

Определение 3.3.1. Подгруппа группы (G, ) – это непустое подмножество H множества G, которое в свою очередь является группой относительно той же бинарной алгебраической операции. Этот факт обозначают так: H  G или H < G, если H  G.

Очевидно, что G  G для произвольной группы (G, ).

Пример 3.3.1. (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +), (Q^*, ) < (R^*, ) < (C^*, ).

Пример 3.3.2. C_m < C_n < (C^*, ) для всех m, n  N, m | n и m < n.

Пример 3.3.3. Обозначим mZ = {mq | q  Z} для фиксированного m  Z. Тогда mZ  nZ  n | m. В частности … < (2^kZ, +) < … < (4Z, +) < (2Z, +) < (Z, +), k  Z_0.

Теорема 3.3.1 (критерий подгруппы). Непустое подмножество H группы (G, ) является подгруппой тогда и только тогда, когда для произвольных a, b  H выполняется условие: ab^–1  H.

Необходимость. Пусть H  G, тогда для  a, с  H aс  H. Поскольку для  b  H  b^–1  H, то для  a, b  H ab^–1  H.

Достаточность. Для  a, b  H ab^–1  H. Отсюда следует выполнение следующих свойств:

1. для  a  H aa^–1 = e  H – нейтральный элемент группы (G, ) находится в H;

2. для  a  H ea^–1 = a^–1  H, то есть для каждого элемента из H обратный к нему элемент также находится во множестве H;

3. для  a  H,  b  H  b^–1  H  a(b^–1)^–1 = ab  H – определена бинарная алгебраическая операция на H, которая совпадает с операцией на G;

4. для  a, b, c  H a(bc) = (ab)c – операция на H ассоциативна, так как она ассоциативна на G.

Выполнение свойств 1–4 равносильно тому, что (H, ) является группой согласно определению 3.2.1. Таким образом, H  G.

В силу теоремы 3.3.1 в любой группе (G, ) подмножество {e}, состоящее из одного нейтрального элемента е этой группы, является подгруппой.

Определение 3.3.2. Подгруппа H группы G называется собственной или нетривиальной, если H  G и H  {e}.

Упражнение 3.3.1. Проверить, что пересечение подгрупп произвольной группы – подгруппа этой группы.

Пример 3.3.4. Пусть K – одно из множеств: Z, Q, R или C. Специальной линейной группой SL_n(K) (от англ. special linear group – «специальная линейная группа») называется множество всех квадратных матриц порядка n  N с коэффициентами из K и определителем, равным 1, с операцией матричного умножения. С помощью критерия подгруппы легко убедиться в том, что SL_n(K) < GL_n(K), но SL_n(Z) < GL_n(Q). Действительно, для  A, B  SL_n(K) в силу свойств определителей

det(A  B^–1) = det(A)  (det(B))^–1 = 1  1 = 1,

откуда следует, что A  B^–1  SL_n(K).