Лекции_2 / 17 Примеры к 4.2 и 4.3 ПЗ

№4. Доказать, что R[x]/.

Решение:

где ,

Для  f(x), g(x)R[x] выполняется

Итак, – гомоморфизм колец.

, т.к. для , a, bR.

Поэтому – эпиморфизм колец.

Ker = {f(x)R[x] | f(i) = 0},

, минимальный многочлен (нормированный), корнем которого является , будет h(x) = .

– двусторонний идеал, .

выбираем минимальной степени так, чтобы корень был равен .

По 2-ой теореме о гомоморфизмах колец R[x]/.

№5. Доказать, что .

Решение:

коэффициенты приводим по .

, m = 0, 1, 2,…

Поскольку  f(x), g(x)Z[x] выполняется

,

то – гомоморфизм колец.

Для с такими же коэффициентами в , как представители классов вычетов коэффициентов – эпиморфизм колец.

.

По 2-ой теореме о гомоморфизмах колец .