§3.7. Гомоморфизмы групп Свойства гомоморфизмов групп

2. Если – гомоморфизм групп, то

1) , то естьf нейтральный элемент первой группы переводит в нейтральный элемент второй группы;

2) для , то есть образ обратного элемента при гомоморфизме есть обратный элемент к образу;

3) Im f .

Im f , Im f  по определению, поскольку G₁  . Так как – гомоморфизм групп, то дляIm f  g₃ = g₁g₂  G₁ такой, что Im f, следовательно, определена бинарная алгебраическая операция  на Im f. …

…

Определение 3.7.7. Биективный гомоморфизм групп называется изоморфизмом. Изоморфные группы будем обозначать (G₁, )  (G₂, ) или G₁  G₂.

Несложно видеть, что отношение изоморфизма на множестве всех групп является отношением эквивалентности: оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, все множество групп разбивается на непересекающиеся классы попарно изоморфных объектов. В математике изоморфные объекты отождествляются. Основная цель теории групп – классифицировать все группы с точностью до изоморфизма.

…

Теорема 3.7.4 (А. Kэли). Всякая группа (G, ) изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S(G). В частности, всякая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы S_n.

…

, где e_G – тождественная функция на G.

.

…

Если | G | = n, то S(G)  S_n и в данном случае по свойству транзитивности изоморфизма получаем, что группа (G, ) изоморфна некоторой подгруппе группы S_n.

Теорема 3.7.5. Существует мономорфизм f : S_n  GL_n(Q) для всех n  N, причем такой, что , если – четная подстановка, и , если – нечетная подстановка.

Пусть функция f ставит подстановке  в соответствие мономиальную или перестановочную матрицу f(), полученную из единичной матрицы E_n соответствующей  перестановкой строк.

Очевидно, что если ₁, ₂  S_n и ₁  ₂, то f(₁)  f(₂). Поэтому функция f инъективна.

При данном отображении f транспозиции соответствует матрица, полученная из E_n одной перестановкой строк. Определитель матрицы меняет знак на противоположный при одной перестановке ее строк, а . Следовательно, если  A_n, то , и если  S_n\A_n, то .

Примем соглашение о том, что порядок вычисления композиции подстановок в S_n соответствует порядку вычисления произведения матриц в GL_n(Q). Внешней в композиции подстановок будем считать подстановку, стоящую слева, и при вычислении произведения матриц строки матрицы, стоящей слева, скалярно умножаются на столбцы матрицы, стоящей справа. Для случая вычисления композиции подстановок и произведения матриц в обратном порядке все рассуждения полностью аналогичны. Пусть ₁, ₂  S_n. Тогда f(₂₁) – мономиальная матрица, полученная перестановкой строк E_n, соответствующей подстановке ₂₁. Произведение матриц f(₂)  f(₁) – мономиальная матрица, полученная перестановкой строк матрицы f(₁), соответствующей подстановке ₂. f(₁) – мономиальная матрица, полученная перестановкой строк E_n, соответствующей подстановке ₁. Поэтому f(₂₁) = f(₂)  f(₁). Значит, f : S_n  GL_n(Q) – мономорфизм групп.

…

§3.8. Криптосистема rsa

…

Адресат получает сообщение m, знает n и e. Он должен также знать секретный ключ – такое натуральное число d, d < (n), что  (mod (n)). Значит, для некоторого натурального числаk. Тогда в Z/nZ согласно следствию 2 из теоремы Лагранжа 3.4.2 имеем следующее равенство: . …

…

Чтобы продемонстрировать стойкость своей криптосистемы, изобретатели зашифровали фразу на английском языке, содержащую оксюморон – сочетание слов с противоположным значением: «The magic words are squeamish ossifrage». Что можно перевести так: «Волшебные слова – привередливый бородач» (английское слово «ossifrage» – устаревшее название бородача или ягнятника – птицы семейства ястребиных, известной своей неприхотливостью и образом жизни в суровых условиях). …

…

Единая система открытого ключа (англ. public key) допускает обмен документами с электронно-цифровыми подписями между пользователями различных государств, использующими различное программное обеспечение на различных платформах; такая возможность насущно необходима для развития электронной коммерции. Распространение системы RSA дошло до такой степени, что ее учитывают при создании новых стандартов и зачастую называют стандартом де-факто. …