§1.6. Сравнения

Теорема 1.6.1. Пусть m – натуральное число. Для любых целых чисел a и b следующие условия равносильны:

1. a и b имеют одинаковые остатки от деления на m;

2. a – b делится на m, то есть a – b = m  q, для подходящего целого q;

3. a = b + m  q для некоторого целого q.

. Пусть a = m  q₁ + r, b = m  q₂ + r, 0  r < m, . Тогда a – b = m  q₁ – m  q₂ = m  (q₁ – q₂)  (a – b)  m.

2. (a – b)  m  a – b = m  q, q  Z,  a = b + m  q.

3. Пусть a = b + m  q, a = m  q₁ + r₁, b = m  q₂ + r₂, 0  r₁, r₂ < m, . Тогда m  q₁ + r₁ = m  q₂ + r₂ + m  q  r₁ – r₂ = m  (q₂ + q – q₁)   .

Определение 1.6.1. Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю m, если они удовлетворяют условиям теоремы 1.6.1. Этот факт обозначают формулой a  b (mod m) или a  b (m). Данное соотношение между целыми числами называют сравнением по модулю m.

Пример 1.6.1. – 6  9  14  24  39  4 (mod 5).

Свойства сравнений

1. Для всякого целого с a  b (mod m)  a  c  b  c (mod m), то есть к обеим частям сравнения можно прибавить или вычесть из обеих частей одно и то же целое число.

2. Сравнения можно почленно складывать и вычитать: a  b (mod m)  c  d (mod m)  a  c  b  d (mod m).

 ,  ,  .

3. Сравнения можно почленно перемножать: a  b (mod m)  c  d (mod m)  a  c  b  d (mod m).

 ,  ,  .

4. Следствие из свойства 3. Сравнения можно почленно возводить в любую натуральную степень: a  b (mod m)  aⁿ  bⁿ (mod m) для .

5. Если в сравнении числа a, b, m имеют общий делитель d, то на него обе части сравнения и модуль можно сократить: a  b (mod m)  a/d  b/d (mod m/d).

.

6. Обе части сравнения можно сократить на их общий множитель, взаимно простой с модулем: если a = a₁  d, b = b₁  d, (d, m) = 1, то a  b (mod m)  a₁  b₁ (mod m).

,  по свойству 6 делимости целых чисел, но так как (d, m) = 1, то по свойству 2 взаимно простых чисел, значит q = q₁  d, q₁  Z. Таким образом, a  b (mod m)     (mod m).

Легко проверяются следующие три свойства.

7. Рефлексивность: для любого целого а и всякого натурального m a  a (mod m).

Действительно, a – a = 0 и m | 0 по свойству 1 делимости целых чисел.

8. Симметричность: a  b (mod m)  b  a (mod m).

m | (a – b)  m | (b – a) по свойству 7 делимости целых чисел.

9. Транзитивность: если a  b (mod m) и b  c (mod m), то a  c (mod m).

a – c = (a – b) + (b – c), m | (a – b)  m | (b – c)  m | (a – c) по свойствам 5 и 6 делимости целых чисел.

Свойства 7–9 означают, что отношение сравнимости на множестве целых чисел Z есть отношение эквивалентности. Это означает, что Z разбивается на непересекающиеся классы попарно сравнимых друг с другом по модулю целых чисел.

Каждый класс сравнимых друг с другом целых чисел характеризуется общими свойствами представителей этого класса. Например, все они имеют один и тот же остаток от деления на модуль; все они в силу теорем 1.6.1 и 1.2.1 имеют одинаковый наибольший общий делитель с этим модулем.

, , где , .

, где ,  (a, m) = (m, b).