§1.4. Взаимно простые числа. Основная теорема арифметики

Определение 1.4.1. Целые числа называются взаимно простыми, если .

Такие числа не имеют общих простых делителей. Развитием теоремы 1.2.3 и следствия из нее является следующая теорема.

Теорема 1.4.1 (критерий взаимной простоты). Целые числа взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие целые числа , что

.

Необходимость. , из соотношения Безу для НОД следует, что , такие, что .

Достаточность. Пусть , такие, что . Если , то d | 1 (в силу свойства 5 делимости целых чисел), следовательно, d = 1.

Свойства взаимно простых чисел

1.   .

Необходимость. Согласно следствию из теоремы 1.2.3 , такие, что , следовательно, , зна-чит, по теореме 1.4.1.

Достаточность. , следовательно, , такие, что (согласно теореме 1.4.1), откуда d = u₁a₁ +…+ + u_na_n. Значит, по свойству 5 делимости целых чисел, а поскольку , то по определению НОД, следовательно, .

2. с | ab  (c, a) = 1  с | b.

При b  0  t, u, v  Z, такие, что ab = ct  cu + av = 1  cub + ctv = b   с | b по свойству 5 делимости целых чисел. При b = 0 доказательство очевидно согласно свойству 1 делимости целых чисел.

3.   .

Необходимость.

где . Значит, согласно теореме 1.4.1.

Достаточность. Пусть . Если предположить, что или , то согласно свойству 3 делимости целых чисел и определению НОД получим, что либо . Это противоречит тому, что . Значит,   .

4. Следствие из свойства 3. Простое число p делит произведение , k  N, тогда и только тогда, когда , 1  i  k, со свойством .

Необходимость. Если с указанным свойством, то по свойству 1 простых чисел , значит, по свойству 3 взаимно простых чисел, следовательно, снова по свойству 1 простых чисел, что приводит к противоречию. Итак, , 1  i  k, со свойством .

Достаточность. Если , 1  i  k, со свойством , то по свойству 3 делимости целых чисел.

С помощью свойств взаимно простых чисел и метода математической индукции доказывается следующая важная теорема.

Теорема 1.4.2 (основная теорема арифметики). Всякое натуральное число n > 1 однозначно раскладывается в произведение простых чисел с точностью до порядка следования множителей:

, . (1.4.1)

n = 2 – база индукции. Предположим, что утверждение верно для .

Для простого числа n доказательство очевидно, s = 1. Пусть – составное число, . Воспользуемся предположением индукции и разложим на простые множители и , тем самым в произведение простых чисел будет разложено и n.

Пусть и , s, t  N, – два разложения числа n на простые множители. Тогда, воспользовавшись свойством 4 взаимно простых чисел и свойством 1 простых чисел и последовательно сокращая обе части равенства  =  на , приходим к выводу, что s = t и с точностью до порядка следования множителей , . Таким образом, разложение (1.4.1) числа n однозначно с точностью до порядка следования множителей.

Определение 1.4.2. Если в равенстве (1.4.1) собрать одинаковые множители в степени, то получим каноническое разложение натурального числа n > 1: , где , , при i  j. Если z – целое, не равное 0, 1 число, то – каноническое разложение .

Пример 1.4.1. Найдем разложения вида (1.4.1) и канонические разложения целых чисел.

1. – 484 = – 2  242 = – 2  2  121 = – 2  2  11  11 = – 2²  11².

2. 2¹² – 1 = 4095 = 3  1365 = 3  3  455 = 3  3  5  91 = 3  3  5  7  13 = = 3²  5  7  13.

По каноническому разложению целых чисел легко находятся их НОД и НОК, решаются иные задачи.

Пусть – ненулевые целые числа, хотя бы одно из которых отлично от . Запишем их канонические разложения:

, , , , ,

где p₁,…, p_t – простые числа, входящие во все разложения , , причем в случае отсутствия множителя p_j в разложении полагается _ij = 0. Тогда, исходя из определений, получаем следующие формулы для канонических разложений НОД и НОК чисел :

, где , ,

, где , .