§4.3. Кольца полиномов над полями

Рассмотрим P[x] – множество полиномов (многочленов) от одной переменной x с коэффициентами из поля P. (P[x], +, ) является кольцом с обычными операциями сложения и умножения полиномов. Это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей (1  P) и без делителей нуля, что следует из свойств умножения, правила вычисления старшего коэффициента в P[x] и свойств поля P. Условимся степень многочлена f(x) обозначать deg f (от англ. degree – «степень»). Степень нулевого многочлена часто считают неопределенной, но иногда будем считать ее нулевой, как степень многочлена, являющегося элементом поля P (0  P). По своим свойствам кольцо P[x] близко к кольцу целых чисел. Например, как и для Z, для кольца полиномов над полем имеют место следующие три теоремы.

Теорема 4.3.1. Обратимыми многочленами в кольце полиномов P[x] являются многочлены нулевой степени, отличные от нуля, и только они, то есть P[x]^* = P^*.

Очевидно, что P^*  P[x]^*. Если f(x)  P[x]^* и degf  1, то при умножении на f(x) любого многочлена, отличного от нуля, согласно правилу вычисления старшего коэффициента получим многочлен степени не ниже первой и, таким образом, не сможем получить 1  P – многочлен нулевой степени. Следовательно, deg f = 0, значит, f(x)  P^*. Поэтому P[x]^*  P^*. Итак, P[x]^* = P^*.

Теорема 4.3.2 (о делении с остатком). Для любых двух многочленов f(x) и g(x)  0 из P[x] существуют единственные многочлены q(x) и r(x) из P[x] такие, что r(x) = 0 либо 0  deg r < deg g и выполняется равенство:

f(x) = g(x)  q(x) + r(x). (4.3.1)

Докажем существование пары многочленов q(x) и r(x), рассмотрев следующие случаи.

1. Если f(x) = 0, то, очевидно, q(x) = 0, r(x) = 0.

2. Если deg f < deg g, то f(x) = 0  g(x) + f(x). Тогда q(x) = 0, r(x) = f(x).

3. Если deg f  deg g, то используется известный метод деления «уголком» f(x) на g(x), аналогичный методу деления целых чисел, для нахождения q(x) и r(x).

Теперь докажем единственность пары многочленов q(x) и r(x). Пусть f(x) = = g(x)  q₁(x) + r₁(x) = g(x)  q₂(x) + r₂(x), тогда g(x)  (q₁(x) – q₂ (x)) = r₂(x) – r₁(x),  r₁(x) = r₂(x), так как при r₁(x)  r₂(x) получаем противоречие с тем, что 0  deg (r₂ – r₁) < deg g. Отсюда следует, что q₁(x) = q₂(x), поскольку g(x)  0.

Теорема 4.3.3. (P[x], +, ) – кольцо главных идеалов.

В (P[x], +, ), как в коммутативном кольце, все идеалы являются двусторонними.

1. Если идеал J = {0} в P[x], то J = < 0 > – главный идеал.

2. Если идеал J  {0}, то в J найдем многочлен наименьшей степени, пусть это будет d(x). Покажем, что J = < d(x) >.

Очевидно, что < d(x) > J по определению идеалов J и < d(x) >.

Пусть f(x) J, тогда согласно теореме 4.3.2 существует единственная пара многочленов q(x) и r(x) таких, что выполняется равенство f(x) = q(x)d(x) + r(x), причем r(x) = 0 либо 0  deg r < deg d. Значит, r(x) = f(x) – q(x)d(x) J. Если r(x)  0, то deg r < deg d, а это противоречит тому, что d(x) – многочлен минимальной степени в J. Поэтому r(x) = 0 и f(x) < d(x) >, значит, J  < d(x) >.

Итак, J = < d(x) >.

Определение 4.3.1. В равенстве (4.3.1) q(x) называют частным (неполным частным, если r(x)  0), а r(x) – остатком от деления f(x) на g(x). Если r(x) = 0, то говорят, что g(x), q(x)  0 – делители или множители полинома f(x). Также в этом случае говорят, что g(x) и q(x)  0 делят f(x), обозначение: g(x) | f(x), или f(x) кратно (делится на) g(x) и q(x)  0, обозначение: f(x)  g(x).

Если g(x) | f(x) и 0 < deg g < deg f, то многочлен g(x) называют нетривиальным делителем многочлена f(x). Очевидно, произвольный элемент   P^* является делителем любого многочлена f(x) из P[x]. При f(x)  0  ^–1f(x) – также делитель f(x). Поэтому такие делители называют тривиальными.

Будем обозначать g(x)f(x), если g(x)  0 не делит f(x), и f(x)g(x), если f(x) не делится на g(x)  0.

Для многочленов из P[x] справедливы свойства делимости, аналогичные свойствам делимости в Z.