7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа
Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) и его остаточный членRL(x) для случая трех узлов интерполяции (n = 2), но с учетом, чтоxi–xi–1=h=const(i = 1, 2, ...,n):
L(x)
=
[(x
– x1)(x
– x2)y0
– 2(x –
x0)(x
– x2)y1
+ (x –
x0)(x
– x1)y2];
RL(x)
=
(x–x0)(x–x1)(x–x2).
Найдем их производные:
[(2x
– x1
– x2)y0
– 2(2x –
x0
– x2)y1
+ (2x –
x0
– x1)y2];
[(x
– x1)(x
– x2)
+ (x –
x0)(x
– x2)
+ (x –
x0)(x
– x1)],
где
– значение производной в некоторой
внутренней точкеx[x0,
xn].
Запишем выражение для производной
прих=x0:
[(2x0
– x1
– x2)y0
– 2(2x0
– x0
– x2)y1
+
+
(2x0
– x0
– x1)y2]
+
[(x0
– x1)(x0
– x2)
+ (x0
– x0)(x0
– x2)
+ (x0
– x0)(x0
– x1)]
=
=
(–
3y0+ 4y1–y2) +
.
Аналогично можно получить значения
,
прих=x1,х=x2.
Итак, для случая трех узлов (n = 2) рабочие формулы имеют следующий вид:
(7.14)
В справочных пособиях приведены формулы Лагранжа для n= 3, 4, … . Так, для случая четырех узлов (n= 3):
(7.15)
Проанализировав (7.14) и (7.15), можно утверждать, что, используя значения функции в (n + 1) узлах, получают аппроксимациюn-го порядка точности для производной. Эти формулы можно использовать не только для узловx0,x1,x2, …, но и для любых узловx =xi,xi+1,xi+2, … с соответствующей заменой индексов в (7.14) и (7.15). С помощью многочлена Лагранжа получены аппроксимации и для старших производных.
Таким образом, при n = 3:
и
т. д.
Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольной сетки расположения узлов. Однако в этом случае имеют место неизбежные громоздкие выражения для расчетов производных.
При необходимости таких расчетов целесообразнее применять искусственный прием, так называемый метод неопределенных коэффициентов.
7.5. Метод неопределенных коэффициентов
Данный метод в основном используется
для случая произвольного расположения
интерполяционных узлов. Искомое выражение
k-й производной в
некоторой точкеx
=xiпредставляется в виде линейной комбинации
заданных значений функцииyj
=f(xj)
в узлах
:
,
.
(7.16)
Предполагается, что это соотношение выполняется точно, если y =f(x) является многочленом степени не вышеn, т. е. если она может быть представлена в виде
.
Отсюда следует, что соотношение (7.16) должно выполняться точно для многочленов y = 1,y =x –xj,y = (x –xj)2,y = (x –xj)n. Производные от них соответственно равны
y'= 0;y' = 1;y'= 2(x –xj), …,y'=n(x –xj)n–1.
Подставляя эти выражения в левую и правую части (7.16), получают систему линейных алгебраических уравнений (n + 1)-го порядка для вычисления значенийc0,c1,…,cn.
Пример 7.3. Найти выражение для
производной
в случае четырех узлов (n
= 3),h =const.
Запишем (7.16) в виде
.
Используем многочлены:
y = 1;y =x –x0;y = (x –x0)2;y = (x –x0)3; (7.17)
y' = 0; y' = 1; y' = 2(x – x0); y' = 3(x – x0)2. (7.18)
Подставим (7.17) и (7.18) в искомое уравнение при x =x1:
0 = c01 +c11 +c21 +c31;
1 = c0(x0 –x0) +c1(x1 –x0) +c2(x2 –x0) +c3(x3 –x0);
2(x1 –x0) =c0(x0 –x0)2 +c1(x1 –x0)2 +c2(x2 –x0)2 +c3(x3 –x0)2;
3(x1 –x0)2 =c0(x0 –x0)3 +c1(x1 –x0)3 +c2(x2 –x0)3 +c3(x3 –x0)3.
После преобразования получаем
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает следующие значения:
c0=
;c1=
;c2=
;c3=
;
.
Это тождественно соотношению (7.15) для
,
только без указания теоретической
погрешности.