6.3. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом

Итак, если длина интервала [a,b] области определения функцииf(x) велика для применения простейших квадратурных формул, то поступают следующим образом:

1) интервал [a,b] разбивают точкамиx_i, 0i n, наnинтервалов по некоторому правилу;

2) на каждом частичном интервале [x_i, x_i+1] применяют простейшую квадратурную формулу и находят приближенное значение интеграла

0i n;

3) из полученных выражений I_iсоставляют квадратурную формулу для всего интервала [a,b];

4) абсолютную погрешность Rсоставной формулы находят суммированиемR_i.

Для реализации данного алгоритма разобьем интервал [a,b] на частичные интервалы [x_i, x_i+1] по следующему правилу: x_i+1–x_i =h, 0 i n – 1,x₀=a,x_n=b.

Шаг определяется равенством h= (b –a)/n.

6.3.1. Составная формула прямоугольников (средних)

Изобразим рассмотренное правило разбивки (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Тогда (6.10) для каждого интервала будет иметь вид

, (6.18)

где x_i  _i  x_i+1, 0  i  n – 1.

Суммирование по iприводит к составной формуле прямоугольников:

I_П =; (6.19)

где ;[a,b].

6.3.2. Формула трапеций

Обозначим значение функции f(х) в точкахx_i :f_i =f(х_i),i=(рис. 6.6).

Рис. 6.6

Тогда по аналогии с формулой для прямоугольников из (6.12) получим составную квадратурную формулу трапеций:

I_Т=, (6.20)

где ,[a,b].

6.3.3. Формула Симпсона

Разобьем интервал [a,b] на четное число частичных интервалов 2m (рис. 6.7), где 2m= (b–a)/h.

Рис. 6.7

Суммируя (6.16)

,

получаем формулу Симпсона:

I_C=, (6.21)

где ,[a,b].

Заметим, что в отличие от простейших формул при оценкеих погрешности в составных формулах (6.19), (6.20) и (6.21) нахождение точки[a,b] однозначно неопределенно.

На примере (6.1) можно оценить точный выбор точки для рассчитанных выше составных формул для интервала [a,b].

Пример 6.1. Вычислить интегралс помощью трех квадратурных формул и сравнить ответ с точным значениемI=e– 1 = 1,7182818.

Возьмем произвольно h = 0,1. Тогда

= 0,1(e^0,05 + e^0,15 + e^0,25 + e^0,35 + e^0,45 + e^0,55 + e^0,65 +

+ e^0,75 + e^0,85 + e^0,95) = 1,7176;

= 0,05[e^0,0 + 2(e^0,1 + e^0,2 + e^0,3 + e^0,4 +

+ e^0,5 + e^0,6 + e^0,7 + e^0,8 + e^0,9) + e¹] = 1,7197;

= 0,1/3[e^0,0 + 4(e^0,1 + e^0,3 +

+ e^0,5 + e^0,7 + e^0,9) + 2(e^0,2 + e^0,4 + e^0,6 + e^0,8) + e¹] = 1,7182828.

Точное значение Iпозволяет определить точкидля формул, соответствующих погрешностямR в (6.19), (6.20), (6.21):

 = 0,365;

 = 0,532;

 = 0,588.

Следовательно, для каждой квадратурной формулы следует выбирать свое с точки зрения оценки точности, что связано с очевидными расчетными трудностями. Утверждение, что повышение точности вычисления интеграла напрямую связано с уменьшением шагаh, также не совсем верно.

Из практики известно, что начиная с некоторого n₀(рис. 6.8) погрешность вычислений снова начинает увеличиваться по причине округлений малых величин.

EMBED Word.Picture.8

Рис. 6.8

В общем случае погрешность интегрирования может быть представлена в виде

,

где q_i– абсолютная погрешность весов;_i– абсолютная погрешность узлов;R– погрешность квадратурной формулы.

В связи с вышеизложенным при вычислении интеграла для выбранной формулы численного интегрирования по заданной точности выбор шагаhпроизводится из следующих соображений:

(6.22)

Соотношения (6.22) означают, что шаг h, а следовательно, и число точекn, в которых вычисляетсяf(x), определяется значениемxс наихудшим поведениемf(x) с точки зрения погрешностиR.

Однако такое правило разбиения интервала интегрирования может приводить к избыточным вычислениям, если f(x) имеет только частные интервалы с ее «плохим» поведением относительно длины отрезка [a,b].

Для примера рассмотрим подынтегра­льную функцию типаf(x) =e^–x/на отрезке [0, 1] (рис. 6.9) с шагомh=. Очевидно, что согласно (6.22) шаг очень мал для обеспечения заданной точности для всего отрезка [0, 1], т. е. возникает потребность для устранения избыточных вычислений разбивать интервал [a,b] на частичные интервалы различной длины, которая определяется свойствамиf(x) и заданной точностью интегрирования.

Таким образом, возникает задача применения простейших квадратурныхформул интегрирования с переменным шагом интегрирования на отрезке [a,b].