6.2. Простейшие квадратурные формулы
Заметим, что при реализации квадратурных формул (6.7) в подавляющем большинстве случаев используется равномерная сетка произвольно выбранных по количеству интерполяционных узлов, что и определяет разные степени используемых интерполяционных многочленов.
Чтобы не иметь дело с интерполяционными многочленами высоких степеней, обычно интервал интегрирования разбивают на отдельные участки, применяют рабочие формулы невысокого порядка на каждом участке и потом складывают результаты расчета и оценочные погрешности.
Приведем квадратурные формулы для одного интервала [хi,xi+1], которые впоследствии обобщим на весь интервал [a,b] в виде так называемыхсоставных квадратурных формул.
6.2.1. Формула прямоугольников
Пусть рассматривается интервал [–h/2,h/2], гдеh> 0 (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Предположим, что подынтегральная функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, т. е.f(x)C2[–h/2,h/2]. Тогда соотношение (6.7) запишется в виде
, (6.10)
где взят один узел = 0 и соответствующий весq=h.
Полученная квадратурная формула
I=h f(0) (6.11)
называется формулой прямоугольников для одного шагаилиформулой средних. Такое название определено, так как это есть площадь прямоугольника с высотойf(0) и основаниемh. Из рис. 6.2 видно, что при уменьшении интервалаhдля гладкой функцииf(x) (так как f(x)C2[–h/2,h/2]) погрешностьR 0 приh 0. Доказано, что точность результата для (6.10) оценивается формулой
,
где[–h/2,h/2].
Заметим, что квадратурная формула (6.11)
является точной для полиномов первой
степени
,
так как
.
Иногда на интервале [–h/2,h/2] применяют формулы видаI =hf(–h/2) иI =hf(h/2) – формулы правых и левых прямоугольников. Они точны только для полиномов нулевой степени, т. е. констант.
6.2.2. Формула трапеций
Рассмотрим интервал [0, h],h> 0 (рис. 6.3). Предположим, что функцияf(x)C2[0,h]. Соотношение (6.7) запишем в виде
, (6.12)
где взяты два узла 0= 0,1=hи соответствующие весаq0=q1=h/2.
Рис. 6.3
Получаемая квадратурная формула
(6.13)
называется формулой трапеций для одного шага. Такое название связано с тем, что (6.13) при положительных значенияхf(0),f(h) является площадью трапеции с основаниямиf(0),f(h) и высотойh.
Доказано, что погрешность для (6.12)
(6.14)
где – некоторая точка интервала [0,h]. Заметим, что (6.13) так же, как формула прямоугольников, точна для полиномов первой степени.
6.2.3. Формула Симпсона
Рассмотрим интервал [– h,h],h> 0 (рис. 6.4). Предположим, что функцияf(x)C4[–h,h], т. е. подынтегральная функция имеет не менее 4-х производных.
Рис. 6.4
Для соотношения (6.7) возьмем три узла: 0=xi–1= –h,1=xi = 0,2=xi+1=h. Соответствующие им весовые коэффициенты получим из аппроксимацииf(x) параболой, построенной на точках (–h, f(–h)), (0, f(0)), (h, f(h)) в виде квадратного многочленаy=ax2+bx +c. Для получения коэффициентовa,bиcпостроим многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через выбранные точки:
.
Вычисляем интеграл:
(6.15)
Тогда соотношение (6.7) запишется в виде
. (6.16)
Формула (6.16) называется формулой Симпсона(парабол).
Доказано, что погрешность для формулы Симпсона оценивается соотношением
,[–h,h]. (6.17)
Из соотношения (6.17) следует, что квадратурная формула Симпсона точна для полиномов третьейстепени.
Отметим, что при применении простейших квадратурных формул требуются вычисления значения подынтегральных функций f(x):
а) в одной точке – для формулы прямоугольников;
б) в двух точках – для формулы трапеций;
в) в трех точках – для формулы Симпсона.
Несмотря на малый объем вычислений, область практических применений простейших квадратурных формул ограничена лишь малыми интервалами, поскольку при увеличении hпогрешность становится значительной, как видно из формул для погрешностей, что вызывает необходимость использования так называемыхсоставных квадратурных формул.