6. Численное интегрирование

6.1. Постановка задачи

Понятие численного интегрирования. Интегрирование функций является важной составной частью многих научных и технических задач. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла

(6.1)

от f(x)0, как известно, состоит в том, что значение величиныI– это площадь, ограниченная кривойy=f(x), осью абсцисс и прямымиx =a,x =b (рис. 6.1).

Во многих случаях, когда функция f(x) в (6.1) задана аналитически, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле НьютонаЛейбница:

. (6.2)

Рис. 6.1

Однако формулой (6.2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:

– когда вид f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразнаяF(x) не выражается в элементарных функциях;

– если значения f(x) заданы в виде таблицы.

Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.

Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f(x), формально записанного в виде (6.1). Напомним суть этого определения.

Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на интервале [a,b]. Разобьем этот интервал наnпроизвольных частичных интервалов [x_i,x_i+1], 0i n – 1,x₀=a,x_n=b.

Выберем в каждом интервале [x_i,x_i+1] произвольную точку,x_i x_i+1и составим так называемуюинтегральную сумму(см. рис. 6.1).

. (6.3)

Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных_i, то его называютинтегралом Риманаот f(x):

. (6.4)

Тогда сумма (6.3) дает простейший пример численного интегрирования, а ее верхняя S₂и нижняяS₁ суммы определяют величину погрешностиS, а именно:

(6.5)

Существующие на практике формулы численного интегрирования по существу отличаются от (6.3) только явным указанием способов:

1) выбора x_i,_i;

2) ускорения сходимости в (6.4);

3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f(x) (например, чтоf(x)C²[a,b] – данная запись означает, что подынтегральная функция должна иметь не менее 2-х производных).

В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулыдля (6.1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (6.3). Точки_i(см. рис. 6.1), в которых вычисляются значенияf(x), называютсяузлами, а коэффициенты (x_i+1 –x_i) в (6.3) заменяют некоторыми числами q_i, не зависящими отf(x), называемымивесами. Формула (6.3) заменяется следующей:

, (6.6)

где a_i b.

Очевидно, что интеграл (6.1) согласно (6.5) следует записать в виде

. (6.7)

Формула (6.7) и называется квадратурной формулой, аRв (6.7) –погрешностью квадратурной формулы. При выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать_i, соответствующие весаq_i, а также указана методика оценки погрешностиRдля определенных классов функций.

Понятие точной квадратурной формулы. Для некоторых классов функций можно записать квадратурные формулы с погрешностьюR0 сразу для всего класса. Такие квадратурные формулы называютсяточными. Для иллюстрации этого рассмотрим

f(x) =P_m(x) =a₀+a₁x+ ... +a_mx^m

на интервале [a,b]. Определим на [a,b] произвольные попарно различные узлы_i, 0i m. Искомое точное соотношение для данной функцииf(x) согласно (6.7) будет иметь вид

. (6.8)

Полином P_m(x) в левой части (6.8) можно записать в виде интерполяционного многочлена:

.

Тогда условие (6.8) позволяет найти значения для весов q_iпри 0i m:

. (6.9)

Если взять произвольные различные узлы _iна [a,b] и вычислить (6.9), то соотношение (6.8) имеет место, т. е. формулаявляется точной.

Следует заметить, что формула (6.8) может оказаться точной для полиномов степени, большей чем m. Это достигают специальным выбором узлов_iна отрезке [a,b], 0i m.

Практический смысл точных квадратурных формул появляется для таких классов функций f(x), которые могут быть хорошо аппроксимированы полиномами на интервале [a,b].

Применив точную формулу к f(x), можно получить малую погрешностьRв (6.7) для рассматриваемого класса функций.