5.2. Интерполирование функций

Интерполирование по определению предполагает нахождение промежуточных значений величины, заданной таблицей или графиком, по некоторым ее значениям. Относительно функциональных зависимостей интерполирование является одним из основных видов точечной аппроксимации. Суть интерполирования в данном случае заключается в следующем.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а,b], на котором должна быть обеспечена близостьf(х) и(х). На данном отрезке выбирается система точек, называемых узлами, по правилу

ax₀<x₁<x₂< … <x_nb.

Их число равно количеству параметров в (5.1).

Известны значения функции f(х) в этих узлах, т. е.

y_i=f(x_i),

Задача интерполирования согласно (5.1) сводится к подбору многочлена следующего вида:

(5.2)

с действительными коэффициентами с_k, найденными по правилу

,(5.3)

Такой многочлен называют интерполяционным многочленом.

Процедуру (5.2) с использованием условий (5.3) называют глобальной интерполяцией.Если же многочлен (5.2) строится только для отдельных участков отрезка [а,b] (области определенияf(х)), т. е. дляmинтерполяционных узлов, гдеm<n, то интерполяцию называютлокальной.

Матрица системы (5.3) и ее определитель имеют следующий вид:

|G|0, (5.4)

так как узлы выбранной системы точек различны. Следовательно, система (5.3) имеет единственное решение, т. е. коэффициенты многочлена (5.2) находятся однозначно.

Заметим, что условие (5.3) обеспечивает близость функций f(х) иF(х) по любой технологии ее получения, т. е. в узлах интерполяции их значения совпадают.

Если (5.2) и (5.3) используются для вычисления значений функции в случае x <x₀иx >x_n, такое приближение называетсяэкстраполяцией.

5.3. Типовые виды локальной интерполяции

5.3.1. Линейная интерполяция

Линейная интерполяция состоит в том, что заданные точки таблицы (x_i,y_i), () соединяются прямыми линиями и исходная функцияf(х) приближается на интервале [а,b] к ломаной с вершинами в узлах интерполяции. В общем случае частичные интервалы [x_i–1,x_i][a,b] различны. Для каждого отрезка ломаной можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i–1,y_i–1) и (x_i,y_i). В частности, дляi-го интервала в виде

.

Тогда рабочую формулу можно записать как

(5.5)

где ,.

Из графической иллюстрации (рис. 5.1) видно, что для реализации (5.5) сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x_T, а затем воспользоваться его границами.

Теоретическая погрешность R(x) =f(x) –F(x)0 в точках, отличных от узлов:

гдеМ₂=max,х[x_i–1,x_i].

Рис. 5.1

Блок-схема такого алгоритма представлена на рис. 5.2.

EMBED Word.Picture.8

Рис. 5.2

5.3.2. Квадратичная(параболическая)интерполяция

В данном случае в качестве интерполяционного многочлена используется квадратный трехчлен на отрезке [x_i–1,x_i+1][а,b] в виде

(5.6)

.

Для определения коэффициентов a_i,b_i,c_iсоставляется система из трех уравнений согласно условиям (5.3), а именно:

(5.7)

Алгоритм вычисления аналогичен предыдущему, только вместо соотношений (5.5) используется соотношение (5.6) с учетом решения (5.7). Очевидно, что для x_T[x₀,x_n] используются три ближайшие точки.

Графическая иллюстрация метода представлена на рис. 5.3.

EMBED Word.Picture.8

Рис. 5.3

Теоретическая погрешность вне узлов интерполяции:

R(x) = (x –x₀) (x –x₁) (x –x₂)