4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций

Рассмотрим вариант построения итерирующих функций вида (4.4) для системы (4.3) с соблюдением условий (4.6). Запишем их в следующем виде:

₁(х,у) =x+F₁(x,y) +F₂(x,y);

₂(х,у) =y+F₁(x,y) +F₂(x,y).

При этом должно выполняться . Коэффициенты,,,находятся из решения следующей системы линейных уравнений, которая составлена по требованиям (4.6а):

(4.7)

При таком подборе параметров условие (4.6а) будет соблюдено, если частные производные функцийF₁ иF₂изменяются не очень быстро в окрестности точки (x₀,y₀).

Пример 4.2. Решить нелинейную систему второго порядка:

при х₀ = 0,8 иу₀ = 0,55.

Итерирующие функции будем искать в виде

Для составления системы (4.7) предварительно определим ее компоненты для значений x₀= 0,8 иy₀= 0,55:

;;;;

;;;–1.

Тогда система (4.7) будет иметь вид

1+ 1,6+ 1,92= 0;= –0,3;

1,1–= 0;= –0,5; – ее решение.

1,6+ 1,92= 0;= –0,3;

1 + 1,1–= 0;= 0,4;

Следовательно, итерирующие функции имеют вид

по (4.5) строим итерационный процесс.

4.3. Метод Ньютона для системы двух уравнений

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вида (4.5) вычисляются по формулам

;, (4.8)

где

;;n= 0, 1, 2, ... .

Если якобиан

 0,

то решение будет единственным.

Начальные значения x₀иy₀определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.

Пример 4.3. Найти решение системы

Графическим путем можно найти приближенно x₀= 1,2 иy₀= 1,7.

Вычислим значение якобиана в начальной точке (x₀,y₀):= 97,910.

Далее по формулам (4.8) получаем:

= 1,2 + 0,0349 = 1,2349;

= 1,7 – 0,0390 = 1,6610.

Продолжив процесс вычисления при x₁иy₁, получимx₂= 1,2343;y₂= 1,6615 и т. д. до достижения желаемой точности.

4.4. Метод Ньютона для системn-го порядка сnнеизвестными

Для метода Ньютона функции F_i = (x₁,x₂, ...,x_n) из (4.1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго порядка и выше.

Пусть известен результат предварительной итерации: при решении (4.1) дает результат для = (a₁,a₂, ...,a_n).

Задача сводится к нахождению поправок этого решения: x₁,x₂, ...,x_n.

Тогда при очередной итерации решение будет следующим:

x₁ = a₁ + x₁; x₂ = a₂ + x₂; …, x_n = a_n + x_n. (4.9)

Для нахождения x_iразложим F_i (x₁,x₂, ...,x_n) в ряд Тейлора:

(4.10)

Приравняем правые части согласно (4.1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно x_i:

(4.11)

Значения F₁,F₂, …,F_nи их производных вычисляются приx₁=a₁,x₂=a₂, ...,x_n =a_n. Расчет ведется с учетом (4.9) по (4.10) и (4.11). Процесс прекращается, когдаmax|x_i| <. При этом будет иметь место единственное решение системы, если якобиан

.

По сходимости этот метод выше метода простой итерации.

5. Аппроксимация функций

5.1. Постановка задачи

При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y=f(x).

При этом, как правило, имеют место две ситуации.

1. Явная зависимость между значениями хиyна интервале [a,b] отсутствует, а есть только таблица экспериментальных данных {x_i,y_i},, поэтому возникает необходимость определенияy=f(x) на интервале [x_i,x_i/2][a,b]. К этой задаче относится уточнение таблиц экспериментальных данных.

2. Зависимость y=f(x) известна и непрерывна, но настолько сложна, что не пригодна для практических расчетов. Стоит задача упрощения вычисления значенийy=f(x) и ее характеристик (и т. д.). Поэтому с точки зрения экономии времени и материальных ресурсов приходят к необходимости построения функциональной зависимостиy =F(x), которая была бы близка кf(x) по основным ее параметрам, но более проста и удобна в реализации при последующих расчетах. То есть ставится задача о приближении (аппроксимации) в области определения функцииf(x) функциейF(x). ФункциюF(x) называютаппроксимирующей.

Основной подходк решению данной задачи состоит в том, чтоy =F(x) выбирается зависящей от каких-то свободных параметров эксперимента, т. е.y =F(x) =(x,c₁,c₂, …,c_n) =(x,). Значения векторавыбираются из условий близости дляf(x) иF(x).

Bзависимости от способа подбора вектораполучают различные виды аппроксимации.

Если приближение строится на каком-то дискретном множестве {x_i},i =, то аппроксимация называетсяточечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение (метод наименьших квадратов). Если множество {x_i} непрерывно, например в виде отрезка [a,b], аппроксимация называетсянепрерывнойилиинтегральной(полиномы Чебышева).

В настоящее время на практике хорошо изучена и широко применяется линейная аппроксимация, при которой (x,) выбирается линейно зависящей от параметровв виде так называемогообобщенного многочлена:

F(x) = (x,) = c₁₁(x) + c₂₂(x) + … + c_n_n(x) = , (5.1)

где _k(x) – какая-то выбранная линейно независимая система базисных функций, в качестве которых могут быть:

– алгебраическая: 1, x,x², ...,xⁿ, ...;

– тригонометрическая: 1, sin(x),cos(x), …,sin(nx),cos(nx), …;

– экспоненциальная: e^0x,e^1x, …,e^nx, …; где {_i} – некоторая числовая последовательность попарно различных действительных чисел.

Важно, чтобы эта система была полной, т. е. обеспечивающей аппроксимацию посредством (5.1) с заданной точностью на всех интервалах [а,b] определенияy=f(x).

Для решения большинства практических задач наиболее удобна первая из них (алгебраическая система), представляющая собой в итоге обычные алгебраические многочлены.