3.4. Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений

Рассмотрим реализацию двух этапов решения нелинейных уравнений:

1) программа должна сначала выдать таблицу значений y =f(x) (отделение корней);

2) далее делается запрос на ввод начального приближения (это ,, или (+)/2) и точности решения.

Расчет функции и вычислительный алгоритм обычно выполняются в виде отдельных подпрограмм.

Рис. 3.9

Примерный алгоритм данных процедур представлен на рис. 3.10.

Значение mвыбираем по усмотрению, но с соблюдением принципа «половинного деления», рассмотренного в п. 3.3.4.

Рис. 3.10

4. Решение систем нелинейных уравнений

4.1. Постановка задачи

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейных уравнений с nнеизвестными:

(4.1)

В отличие от линейных систем прямых методов решения систем нелинейных уравнений нет, за исключением систем второго порядка, когда одно неизвестное может быть выражено через другое.

Наиболее распространены два метода: метод простой итерации и метод Ньютона.

4.2. Метод простой итерации

Система (4.1) должна быть представлена в следующем виде:

(4.2)

где называютсяитерирующими функциями.

Алгоритм решения аналогичен алгоритму Зейделя или алгоритму простой итерации для решения систем линейных уравнений.

Пусть известен начальный вектор решения x_i =a_i,i= 1, 2, …,n, тогда

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменение всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станет меньше заданного значения .

Начальные значения должны быть близкими к истинным значениям, иначе итерационный процесс может не сойтись. Поэтому стоит проблема их отыскания (т. е. условий сходимости). В случае расходимости (несходимости) в блок-схеме алгоритма срабатывает механизм ограничения числа итераций.

4.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида:

(4.3)

Нужно найти действительные корни xиyс заданной степенью точности.

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (4.3) нужно привести к виду

(4.4)

где ₁и₂– итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде

n= 0, 1, 2, …, (4.5)

где при n= 0x₀иy₀ – начальные приближения.

Имеет место следующее утверждение: пусть в некоторой замкнутой областиR(a x A;b y B) имеется одно и только одно единственное решение:x =;y =, тогда:

1) если ₁(x,y) и₂(x,y) определены и непрерывно дифференцируемы в областиR;

2) если начальное решение x₀,y₀ и все последующие решенияx_n,y_n также принадлежат областиR;

3) если в Rвыполняются неравенства

(4.6)

или равносильные неравенства

(4.6а)

то итерационный процесс (4.5) сходится к определенным решениям, т. е.

Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством

,

где М– наибольшее из чиселq₁илиq₂в соотношениях (4.6) и (4.6а). Сходимость считается хорошей, еслиМ < 1/2. Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность= 10^–3.

Пример 4.1. С заданной точностью решить нелинейную систему второго порядка:

Запишем систему в виде (4.4):

Рассмотрим квадрат 0 x 1; 0y 1. Если взятьх₀ иу₀из этого квадрата, тогда

Из анализа вида ₁и₂определим область нахождения их компонент прих =у = 1 в заданном квадрате.

Для ₁(х,у):, а для₂(х,у): –< , поэтому при любом выборе (x₀,y₀) последовательность (x_k,y_k) останется в прямоугольнике:

;,

так как 1/3 + 1/2 = 5/6, 1/3 – 1/6 = 1/6, 1/3 + 1/6 = 1/2. Тогда для точек этого прямоугольника

;

.

Условия (4.6) удовлетворяются, следовательно, система может быть решена по методу простых итераций.

Полагаем х₀ = 1/2,у₀ = 1/2, тогда

х₁=;у₁=.

Вторая итерация: ;;х₃= 0,533;у₃= 0,351. Вычисляем дальшех₄ = 0,533;у₄ = 0,351эти значения и являются ответом.