3.3.3. Метод секущих

Этот метод является модификацией метода Ньютона в плане его реализации, т. е. задача поиска корня связана лишь с вычислением значения функции f(x). Заменив производнуюf '(x_n) в методе Ньютона так называемой разделенной разностью по двум точкамx_nиx_n+h_n, гдеh_n– некоторый малый параметр, получим итерационную формулу

,n= 0, 1, 2, …, (3.9)

которая называется методом секущих.

Приближение x_n+1 является абсциссой точки пересечения секущей прямой, проведенной через точки (x_n,f(x_n)) и (x_n +h_n ,f(x_n +h_n)) с осьюх(рис. 3.6).

Имеются другие интерпретации формулы (3.9). В частности, метод Вегстейна, в котором для выбора параметраhиспользуют предыдущую расчетную точку, т. е. берутh_n =x_n–1 –x_n, тогда (3.9) имеет вид

,n= 0, 1, 2, … . (3.10)

EMBED Word.Picture.8

Рис. 3.6

Метод Вегстейна, очевидно, двухшаговый (m = 2), т. е. для вычисления требуется задать две начальные точки приближения, лучше всегоx₀ =а;x₁ =b. Данный метод медленнее метода секущих, однако требует в два раза меньше вычисленийf(x) и поэтому оказывается более эффективным.

Целесообразным является использовать подходы к уточнению корня, не выпускающие корень из выделенной «вилки» (отрезка [a,b]).

Так, если f(b)f "(x) > 0 дляx[a,b], берут в качествеx₀=a, и уточнение ко­рня производится по формуле

,n = 0, 1, 2, …, (3.11)

а если f(a)f "(x) > 0 для x[a,b], берут в качествеx₀=b, и уточнение корня производится по формуле

,n = 0, 1, 2, … . (3.12)

3.3.4. Метод деления отрезка пополам

Все вышеизложенные методы могут работать, если функция f(x) из (3.1) является непрерывной и дифференцируемой вблизи искомого корня, в противном случае решение не гарантируется. Данный метод может быть использован даже для разрывных функций.

Его алгоритм реализовывается согласно следующей рекуррентной последовательности: для x^*[,];x₀ =;x₁ =, находитсяx₂ = (+) / 2.

Очередная точка x₃выбирается, как середина того из смежных сx₂интервалов [x₀,x₂] или [x₂,x₁], на котором находится корень. В результате получается следующий алгоритм метода деления отрезка пополам:

1) вычисляем y₀=f(x₀);

2) вычисляем x₂= (x₀+x₁) / 2,y₂=f(x₂);

3) если y₀y₂> 0, тоx₀=x₂, иначеx₁=x₂; (3.13)

4) если x₁x₀ >, то повторяем с п. 1;

5) вычисляем x^*= (x₀+x₁) / 2.

За одно вычисление функции погрешность уменьшается вдвое, т. е. скорость сходимости невелика, однако метод устойчив к ошибкам округления и всегда сходится.

Немного подкорректировав, алгоритм (3.13) более наглядно можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.7).

EMBED Word.Picture.8

Рис. 3.7

3.3.5. Метод хорд

Геометрическая интерпретация метода представлена на рис. 3.8.

Пусть корень Суравненияf(x) = 0 отделен на [a,b]. Функцияf(x) непрерывна на отрезке и на его концах имеет разные знаки. ТочкиАиВимеют координаты соответственно (a,f(a)) и (b,f(b)).

Искомым корнем Сбудет пресечениеf(x) с осьюх. В начале итераций вместоСищется приближениеx₁как результат пересечения осихс хордойАВ.

Рис. 3.8

Уравнение прямой АВзапишем в виде.

Полагая у= 0, находим, что можно записать в следующем виде:

, или. (3.14)

Если x₁ оказывается недостаточно точным, находят второе приближение:

. (3.15)

На основании (3.14) и (3.15) можно записать рекуррентную последовательность:

, если, (3.16)

и

, если. (3.17)

Заметим, что на выделенном интервале [a,b] имеют место четыре типа расположения кривойf(x).

Для If '(x) > 0,f "(x) > 0 (рис. 3.9,а), дляIIf '(x) < 0,f "(x) < 0 (рис. 3.9,б), дляIIIf '(x) > 0,f "(x) < 0 (рис. 3.9,в), дляIVf '(x) < 0,f "(x) > 0 (рис. 3.9,г).

Тогда для IиIIтипов расположения кривой используется (3.16), т. е.х₀ =а. ДляIIIиIVтипов используется (3.17), т. е.х₀ =b.

В заключение заметим, что во всех методах для определения функции f(x) и ее производных целесообразно использовать схему Горнера.