2.3. Вычисление определителей высоких порядков

Для матриц общего вида, являющихся элементом СЛАУ, для вычисления определителей успешно может использоваться метод Гаусса. Прямой ход метода для системы позволяет вычислить

,

так как последовательное исключение элементов величину определителя не изменяет. Здесь а_kk– элементы преобразованной матрицыА(прямой ход Гаусса). Знакзависит от четности или нечетности перестановок строк исходной матрицы при приведении ее к треугольному виду.

Для симметричных матриц

;.

2.4. Вычисление обратных матриц

1. По методу Гаусса. Всякая неособенная матрица, для которой, имеет обратную матрицу. Очевидно, чтоАА^–1 =Е. Запишем это равенство в виде системыnуравнений сnнеизвестными:

, (2.38)

где а_ik – элементы матрицыА;z_kj– элементы обратной матрицыА^–1;_ij– элементы единичной матрицы. При этом_ij =

Для нахождения элементов одного столбца обратной матрицы необходимо решить соответствующую линейную систему (2.38) с матрицей А. Так для полученияj-го столбца матрицыА^–1(z_1j, z_2j, …,z_nj) решается система

(2.39)

Следовательно, для обращения матрицы Анужноnраз решить систему (2.39) приj =. Поскольку матрицаАсистемы не изменяется, то исключение неизвестных выполняется только один раз, а (n – 1) раз при решении (2.39) выполняется только обратный ход с соответствующим изменением ее правой части.

2. Другой подход к определению обратной матрицы А^–1:

,

где – определитель матрицы;А_ij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицыА.

3. Обращение матрицы А посредством треугольных матриц. Известно, что всякая обратная матрица, если она существует, по структуре будет такая же, как и исходная, так как

А^–1А =АА^–1=Е=. (2.40)

Рассмотрим пример обращения матрицы 3-го порядка следующего вида:

А=. (2.41)

Решение. МатрицуА^–1 ищем в виде

А^–1=. (2.42)

Перемножив АиА^–1 с учетом (2.40), получимt₁₁ = 1;t₁₁ + 2t₂₁ = 0; 2t₂₂ = 1;

Отсюда последовательно находим t₁₁ = 1;t₂₁ = –1/2;t₃₁ = 0;t₂₂ = 1/2;t₃₂ = –1/3;t₃₃ = 1/3, следовательно,

А^–1=. (2.43)

Перемножив (2.43) и (2.41), получим (2.40).

Известно, что любая произвольная матрица Аможет быть представлена в виде двух треугольных. Например, пусть известна матрица

. (2.44)

Будем искать Т₁ =иТ₂ =.

Диагональ в матрице Т₂искусственно берется равной 1. Тогда

A =T₁ T₂. (2.45)

Реализовав (2.45) и сравнив с (2.44), получим

=.

Сравнив значения правой и левой частей и выполнив простейшие вычисления, получим

t₁₁= 1;t₁₁ r₁₂= –1;t₁₁ r₁₃= 2;

t₂₁= –1;t₂₁ r₁₂+t₂₂= 5;t₂₁ r₁₃+t₂₂ r₂₃ = 4;

t₃₁= 2;t₃₁ r₁₂+t₃₂= –1;t₃₁ r₁₃+t₃₂ r₂₃ +t₃₃= 14.

Решив полученную систему, получим

t₁₁= 1;t₂₁= –1;t₃₁= 2;

t₂₂= 4;t₃₂= 6;t₃₁= 1;

r₁₂ = –1;r₁₃ = 2;r₂₃ = 3/2.

Таким образом, Т₁ =иТ₂ =, тогдаA^–1 = .

2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы

Точность получения элементов обратной матрицы оценивается соотношением

А^–1 А =А⁰ =Е.

Однако в общем случае элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая появляется в результате округлений в процессе вычисления и большого числа арифметических операций. Для уменьшения погрешностей используется итерационнаясхемауточнения элементов обратной матрицы.

Пусть для неособенной матрицы Аполучено приближенное значение элементов матрицыА^–1. Обозначим ее черезD₀A^–1. Тогда для уточнения элементов обратной матрицы строится следующий итерационный процесс:

F_k–1 = E – AD_k–1; k =1, 2, 3, …; (2.46)

D_k = D_k–1 (E + F_k–1); k = 1, 2, 3, … . (2.47)

Доказано, что итерации сходятся, если начальная матрица D₀достаточно близка к искомойА^–1.

В данной итерационной схеме матрица Fна каждом шаге как бы оценивает близость матрицыDкА^–1.

Схема работает следующим образом.

Сначала по (2.46) при k = 1 находитсяF₀=E –AD₀, затемпроизведениеD₀F₀.

По (2.47) при k= 1 находитсяD₁ =D₀+ D₀F₀.

Чтобы проверить, достигнута ли желаемая точность, вычисляется AD₁, а по (2.46) приk = 2 вычисляетсяF₁=E –AD₁ и, если наибольший элемент матрицыF₁ <, итерации прекращаются, следовательно,A^–1D₁.