3.5.3. Метод исключения (отбраковки, режекции, Дж. Неймана)

Основой метода является следующая теорема:

Если множество точек (x,y) является реализацией случайного вектора , равномерно распределенного в области, ограниченной осью 0X и кривой f(x), такой, что

,

то одномерная плотность распределения величины ξ равна

.

Отсюда следует, что, если f(x) – искомая функция плотности распределения (т.е. ), то, реализовав процедуру построения множества случайных векторов, равномерно распределенных под графиком f(x), мы, тем самым, получим множество значений абсцисс {x_i}, распределённых в соответствии с законом, определяемым функцией f(x).

Однако, процедура генерирования случайных векторов может оказаться достаточно сложной в вычислительном плане (надо использовать условные функции плотности ввероятностей). Для упрощения процедуры формирования случайных чисел воспользуемся следующим достаточно очевидным утверждением.

Если вектор равномерно распределён под кривой , такой, что

для всей области определения f(x), то его реализации, ограниченные областью между 0X и f(x) будут равномерно распределены в этой области.

Функция g₁(x) называется мажорирующей функцией по отношению к f(x) (рис. 3.9) .

Рис. 3.9. Мажорирующая функция

Можно выбрать функцию g₁(x) такой, что вектора, равномерно распределенные в области G₁ , будет просто генирировать. Удобно выбирать функцию, имеющую постоянное значение на всей области определения f(x):

g₁(x)= const,

как правило, равное максимальному значению f_max функции f(x).

y

f_max

f(x_i)

x

а

b

0

.

x_i

y_i

Рис. 3.10. Метод исключения

Отсюда вытекает процедура метода (рис. 3.10):

а) если функция f(x) не ограничена, то, учитывая допустимую погрешность, область ее определения ограничивают интервалом (a,b);

б) имитируется реализация (x_i,y_i) вектора , равномерно распределеного в области G₁ (между OX и g₁(x)):

– генерируется РРСЧ x_i из диапазона (a,b);

– генерируется РРСЧ y_i из диапазона (0, f_max(x));

в) если, y_i<f(x_i) то (x_i,y_i) является реализацией вектора, распределённого в области G (между осью 0X и f(x)) и x_i – искомая реализация ξ. Иначе процедура повторяется, начиная с пункта б).

Так как в качестве базовой последовательности обычно берут числа, равномерно распределенные в диапазоне от 0 до 1, то от случайной величины ξ сискомой функцией распределения f _ξ переходят к случайной величине

ξ* = .

Для нее область возможных значений (0, 1), а функция плотности вероятностей имеет вид

f_ξ*(z) = (b-a)f _ξ[a+(b-a)z]

(сжатие по оси абсцисс).

Произведем сжатие по оси ординат:

f*_ξ*(z) = f_ξ*(z)/f_max ,

где f_max максимальное значение f_ξ*(z).

В результате произведенных действий функция f*_ξ*(z) расположилась в единичном квадрате в начале системы координат.

Теперь процедура получения последовательности чисел с функцией плотности f_ξ(x) сводится к следующему.

1. генерируется пара РРСЧ из диапазона (0, 1) – η_i, η_i+1;

2. проверяется выполнение условия

η_i+1 f*_ξ*( η_i ) ;

3. если это условие выполняется, то очередное число, включаемое в выходную последовательность получаем как

x_j = a+(b-a) η_{i ,}

иначе процедура повторяется, начиная с пункта 1.

Эффективность метода исключения характеризуется коэффициентом использования k_n – отношением количества отобранных реализаций к общему числу реализаций. Очевидно, что это отношение при равномерном распределении реализаций равно отношению площадей под графиками функций f(x) и g₁(x):

,

где , а .

Чем ближе значение k_n к 1, тем эффективнее использование метода. Можно, например, использовать в качестве мажорирующей функции g₁(x) ступеньчатую функцию (рис. ). При этом значение коэффициента k_n увеличивается, но следует иметь в виду, что при этом одновременно увеличивается число вычислений.

g₁(x)

.

.

.

.

Рис. 3.11. Ступенчатая мажорирующая функция

Пример. 3.1.

Рассмотрим использование метода для получения чисел с треугольным распределением:

Переходим от случайной величины ξ к величине ξ*, реализацией которой является значение

z = .

Значениz z лежат в диапазоне от 0 до 1 (рис. б) и для нее функция плотности распределения

f_ξ*(z) = (b-a)f _ξ[a+(b-a)z]=.

f_ξ(x)

а)

б)

a

b

x

0

f_ξ*(z)

f*_ξ*(z)

z

1

1

0

Рис. 3.12. Имитация треугольного распределения

Максимальное значение эта функция принимает при z=1:

f_max=2.

Произведем масштабирование по вертикальной оси:

f*_ξ*(z) = f_ξ*(z)/f_max =z.

Таким образом, мы пришли к функции, вписанной в единичный квадрат (рис. 3.12. б).

Теперь формирование чисел с треугольным распределением будем производить по следующему алгоритму:

1) Берём η₁ и η₂ − равномерно распределенные в диапазоне от0 до 1 числа;

2) Если η_{1 >} η₂, то включаем в выходную последовательность очередное число x_j = a+(b-a) η_{1 ,} иначе переходим к пункту 1.

Для ускорения процедуры можно заполнять квадрат сразу парами точек , симметричными относительно диагонали с координатами (η₁, η₂) и (η₂, η₁) .

Тогда пункт 2 будет иметь вид: x_j = a+(b-a)max ((η₁, η₂) .