Sluchaynye_protsessy

состояние. Затем по известным qi,i и qi, j находят вероятности перехода pi, j (t) путем ре- шения системы дифференциальных уравнений.

Вразделах 9.4 – 9.6. рассматриваются примеры цепей Маркова с непрерывным временем.

9.4.Процессы рождения и гибели

Рассмотрим цепь Маркова с состояниями E0 , E1, E2 ,... и возможностью перехода из со- стояния Ei только в состояние Ei +1 или Ei−1, причем из состояния E0 возможен переход только в состояние E1. Такая цепь называется процессом рождения и гибели, поскольку пе- реход из Ei в Ei +1 трактуется как рождение, а переход из Ei в Ei−1 – гибелью. Все элемен- ты инфинитезимальной матрицы Q такого процесса равны нулю, кроме элементов qi,i −1 ,

Решение дифференциальных уравнений (9.18) или (9.19) с такой матрицей коэффициентов

то эта система уравнений примет вид

72

Величину p0 найдем из условия нормировки, т.е. из второго уравнения системы (9.21):

то предельные вероятности существуют и определяются формулами (9.23), (9.22). Если же эта величина равна бесконечности, то из (9.23) p0 = 0 и из (9.22) pm = 0 m > 0 . В этом

случае предельных вероятностей не существует. Физически это означает, что система с тече- нием времени будет переходить в состояния с возрастающими номерами, уходя в бесконеч- ность.

В случае λ0 = λ1 = ... = λ , μ1 = μ2 = ... = μ процесс гибели и рождения можно рассмат- ривать как математическую модель системы массового обслуживания (см. раздел 9.7).

9.5. Процессы чистого рождения и чистой гибели

Цепь Маркова с состояниями E0 , E1, E2 ,... и возможностью перехода из состояния Ei только в состояние Ei+1, называется процессом чистого рождения. В сравнении с процессом рождения и гибели здесь все μi равны нулю, т.е. инфинитезимальная матрица Q имеет вид:

73

Легко записать прямую систему дифференциальных уравнений (9.16) для вероятностей перехода pi, j (t). Для любого i ³ 0

Решение системы уравнений (9.26) можно получить последовательно, начиная с первого уравнения. Для получения решения рассмотрим случай i = 0 , который представляется нам наиболее важным. Начальные условия (9.6) в этом случае означают, что

p0,0 (0) =1, p0,n (0) = 0 "n > 0 .

В частности, из первого уравнения системы уравнений (9.26) с учетом начального условия p0,0 (0) =1 находим

p0,0 (t) = e−λ0t .

Подставляя это решение во второе уравнение системы (9.26), получим уравнение p0¢,1(t) = -l1 p0,1(t) + l0e−λ0t ,

интегрирование которого приведет к решению

p0,1(t) = l1λ-0l0 (e−λ0t - e−λ1t ).

Решения pi, j (t) системы уравнений (9.26) неотрицательны при всех i, j,t . Однако если

∞

λk растут слишком быстро при возрастании k , то может случиться, что å pi, j (t) <1. До- j =0

казано, что для того, чтобы при всех значениях t решения pi, j (t) системы уравнений (9.26)

74

Цепь Маркова с состояниями E0 , E1, E2 ,... и возможностью перехода из состояния Ei только в состояние Ei−1, называется процессом чистой гибели. В сравнении с процессом рождения и гибели здесь все λi равны нулю, т.е. инфинитезимальная матрица Q имеет вид:

Прямая система дифференциальных уравнений (9.16) для вероятностей перехода pi, j (t) для любого i ³ 0 имеет вид

Решение системы уравнений (9.26) можно получить последовательно, начиная с первого уравнения. Для получения решения рассмотрим случай i = 0 , который представляется нам наиболее важным. Начальные условия (9.6) в этом случае означают, что

p0,0 (0) =1, p0,n (0) = 0 "n > 0 .

9.6. Пуассоновский процесс

Процесс чистого рождения в случае, когда λ0 = λ1 = ... = λ , называется пуассоновским процессом. Инфинитезимальная матрица пуассоновского процесса имеет вид:

Следовательно, для любого i ³ 0 вместо (9.26) мы имеем следующую систему дифференци-

альных уравнений

75

ние En . Состояние Ek будем понимать как то, что случайный процесс принимает численное значение k . Будем решать систему уравнений

ï p0,n (t) = -lp0,n (t) + lp0,n−1(t),

ï. . . . . . . . . .

î

Для решения системы (9.27) воспользуемся приемом, примененным в разделе (8.4), т.е. вве-

дем вспомогательные функции

чим

f0¢,0 (t) = leλt p0,0 (t) - leλt p0,0 (t) = 0 .

f0¢,k (t) = lf0,k (t) + eλt (- lp0,k (t) + lp0,k −1(t))= lf0,k (t) - lf0,k (t) + lf0,k −1(t) = lf0,k −1(

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений первого порядка для функций fk (t)

76

которая может быть последовательно решена начиная с первого уравнения (9.35). Начальное условие для первого уравнения (9.35) из (9.32): f0,0 (0) =1. Тогда решением уравнения (9.35)

Первое уравнение из (9.36) будет иметь вид

f0′,1(t) = λ .

Начальное условие для него из (9.32): f0,1(0) = 0 . Решением этого уравнения будет функция

Третье уравнений из (9.36) с учетом решения (9.38) принимает вид f0′,2 (t) = λ2t ,

а начальное условие для него следует из (9.32): f2 (0) = 0 . В таком случае решение этого

уравнения имеет вид

f0,2 (t) = (λt)2 .

2!

Продолжая этот процесс интегрирования уравнений (9.36) с начальными условиями (9.32), получим общее выражение решения:

Возвращаясь теперь от функций (9.39) к обозначениям (9.31), получаем искомое выражение для вероятностей перехода:

Мы видим, что вероятности p0,k (t) подчиняются формуле Пуассона. Отсюда происходит

название этого процесса.

Пуассоновский процесс более известен как пуассоновский или простейший поток требо- ваний в системе массового обслуживания (СМО) (см. раздел 8). Если считать, что состоя-

ние Ek означает наличие в СМО k требований, то вероятность p0,k (t) означает поступле-

ние в СМО k требований за время t . Таким образом, количество требований, поступающих в СМО за время t , подчиняется распределению Пуассона:

Параметр λ пуассоновского процесса представляет собой среднее количество требований, поступающих в СМО в единицу времени (см. раздел 8.5), величина 1/ λ – среднее время ме- жду соседними требованиями.

Таким образом, пуассоновский поток требований в СМО можно рассматривать с позиций теории цепей Маркова с непрерывным временем.

9.7. Процесс рождения и гибели как математическая модель системы массового обслуживания

Процессы рождения и гибели в случае λ0 = λ1 = ... = λ , μ1 = μ2 = ... = μ представляют собой математическую модель одноканальной системы массового обслуживания (СМО) с

77

пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительностей об- служивания (модель типа M/M/1). В этом случае отношение λi /μi+1 в (9.22), (9.23) обозна- чается как ρ = λ /μ , и эти формулы преобразуются к виду

pm = p0ρm , m = 1,2,... .

При ρ <1 соотношение (9.24) выполняется, так что получим

Величина ρ = λ /μ , ( ρ =1 − p0 ) называется коэффициентом загруженности обслуживаю- щего прибора. Если состояние Em трактовать как факт нахождения в системе m требова- ний, то вероятности pm , m = 0,1,2,... , представляют собой вероятности того, что в устано-

вившемся режиме в СМО будет находиться m требований. Вероятность p0 , определяемую формулой (9.42), называют вероятностью простоя СМО. Если обозначить как ξ число тре- бований в СМО, то формула (9.43) определяет распределение вероятностей этой случайной величины. Распределение вида (9.43) называется геометрическим с параметром 1 − ρ и обо- значается G(1− ρ) . Теперь мы можем найти среднее число требований в установившемся режиме функционирования СМО как математическое ожидание указанной случайной вели- чины ξ:

Здесь мы не демонстрировали процесс вычисления математического ожидания, а воспользо- вались результатом, известным из теории вероятностей. Точно также получаем дисперсию числа требования в установившемся режиме функционирования СМО:

Вероятность того, что в установившемся режиме в СМО будет не менее N требований, оп-

ределяется выражением

Длина очереди q в СМО определяется как число требований в системе, если это число равно

нулю, и как число требований в системе минус единица, если это число больше нуля. Иначе говоря,

ì x, если x = 0, q = íîx -1, если x > 0.

Тогда средняя длина очереди определится выражением

78

Можно найти также другие характеристики СМО, однако это потребует дополнительных рассуждений. Поэтому приведем лишь конечные результаты.

Время пребывания требования в системе t определяется как время пребывания требова- ния в очереди tq плюс время обслуживания требования ts :

t = tq + ts .

Такое же соотношение сохраняется для средних значений этих случайных величин. Среднее

время пребывания требования в системе определяется выражением at = E(t) = m -1 l .

Среднее время пребывания требования в очереди равно

atq = E(tq ) = m(mλ- l) .

Среднее время обслуживания требования

ats = at - atq = m1 .

Время занятости обслуживающего прибора обозначим tp . Среднее время занятости прибора

определяется выражением

at p = E(t p ) = m -1 l .

9.8. Случайный телеграфный сигнал

Рассмотрим конечную цепь Маркова с непрерывным временем и двумя состояниями Е1 и Е2 . Пусть эти состояния имеют численные значения E1 = −1 и E2 =1, причём вероятность

Такой процесс называется случайным телеграфным или случайным двоичным сигналом. Од- на из реализаций этого процесса приведена на рис. 9.2.

79