SlPr
.pdf
Отсюда получаем, что
p (t) = p |
2,2 |
(t) = |
1 |
+ |
1 |
e−2λt , |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
1,1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||
p |
(t) = p |
2,1 |
(t) = |
- |
e−2λt . |
(7.4) |
||||||||
|
|
|||||||||||||
1,2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы убедиться в справедливости последних формул, необходимо разложить эти функции в ряды Тейлора в окрестности нуля и сравнить их с рядом (7.3) для матрицы P(t) .
Для случайного телеграфного сигнала существуют предельные вероятности
p j |
= lim pi, j (t) . |
(7.5) |
|
t →∞ |
|
Из формул (7.4) при t → ∞ получаем:
p1 = p2 = 12 .
Эти вероятности будут для больших моментов времени и безусловными: a1 = P(x(t) =1) = 12 ,
a2 = P(x(t) =1) = 12 .
Теперь можно найти математическое ожидание и ковариационную функцию телеграфного сигнала. Для больших моментов времени (для стационарного состояния) получим
|
|
|
|
|
E(x(t)) =1× P(x(t) =1) -1× P(x(t) = -1) = |
|
1 |
- |
1 |
= 0 , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rξ (τ) = E(ξ(t)ξ(t + τ))= |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
=1×1× a |
× p (t) +1× (-1) × a × p (t) + (-1) ×1× a × p |
2,1 |
(t) + (-1) × (-1) × a × p |
2,2 |
(t) = |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1,1 |
|
|
|
1 |
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
æ 1 |
|
1 |
|
ö æ 1 |
|
1 |
ö |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
+ |
|
e−2λτ - ç |
|
- |
|
e−2λτ ÷ - ç |
|
- |
|
e−2λτ ÷ + |
|
+ |
|
|
e−2λτ = e−2λτ , τ > 0. |
|
||||||
4 |
4 |
|
4 |
|
4 |
4 |
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
è 4 |
|
|
ø è 4 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Учитывая, что ковариационная функция является четной, получаем выражение ковариаци- онной функции для любых τ :
Rξ (t) = e−2λ τ .
7.4.Порядок выполнения работы
7.4.1.Предложить и запрограммировать алгоритм моделирования реализаций случайного двоичного сигнала, описанного выше.
1.4.2.Рассчитать среднее значение и ковариационную функцию для стационарного со-
стояния описанного выше сигнала в предположении, что состояния Е1 и Е2 принимают различные числовые значения c1 и c2 , и вероятности перехода за малое время t в другое
состояние определяются условиями
p1,2 ( t) = λ t + o( t), p2,1( t) = μ t + o( t) ,
т.е. инфинитезимальная матрица имеет вид
31
é- λ |
λ ù |
|
Q = ê |
μ |
ú . |
ë |
- μû |
|
32
Литература
1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 448 с.
2.Тихонов В.И., Миронов В.А. Марковские процессы. – М.: Сов. Радио, 1977. – 488 с.
3.Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика.
–М.: Высшая школа, 1982. – 256 с.
4.Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 2-е изд. –
М.: Наука, 1987. – 336 с.
5.Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1986. – 432 с.
6.Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир, 1969. – 398 с.
7.Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. – М.: Мир, 1973. – 324 с.
8.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987. –
9.Муха В.С. Теория вероятностей. – Мн.: БГУИР, 2001. – 167 с.
10.Муха В.С. Методическое пособие по курсу "Вероятностные процессы в АСУ". Часть
1. – Мн.: МРТИ, 1987. – 60 с.
11.Муха В.С. Методическое пособие по курсу "Вероятностные процессы в АСУ". Часть
2. – Мн.: МРТИ, 1987. – 60 с.
12.Муха У.С. Тэорыя имавернасцяу i матэматычная статыстыка: У 2-х частках: Выпад- ковыя працэсы: Ч. 2: Тэксты лекцый для студэнтау радыетэхнiчных спецыяльнасцяу.
–Мн.: БДУИР, 1996. – 88 с.
13.Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. – Мн.: Университетское, 1987. – 304 с.
14.Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. – М.:
Наука, 1972. –
15.Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Матлаб 5.0/5.3. Система символьной математики. –
М.: Нолидж, 1999. – 640 с.
16.Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x: программирование численных методов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 672 с.
Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов к техническим средствам обучения
1.Программное средство MATLAB 6.5, 7.1.
2.Муха В.С., Птичкин В.А. Введение в MATLAB: Метод. пособие для выполнения лаб. работ по курсам "Статистические методы обработки данных" и "Теория автоматического управления" для спец. 53 01 02 "Автоматизированные системы обработки информации". –
Мн.: БГУИР, 2002. – 40 с.
33
Оглавление |
|
Тема 1. Моментные функции случайных процессов .................................................................. |
3 |
1.1. Цель работы........................................................................................................................ |
3 |
1.2. Теоретические положения ................................................................................................. |
3 |
1.3. Программные средства для выполнения работы.............................................................. |
5 |
1.4. Порядок выполнения работы............................................................................................. |
8 |
Тема 2. Моделирование случайных событий и дискретных случайных величин ................... |
10 |
2.1. Цель работы...................................................................................................................... |
10 |
2.2. Теоретические положения ............................................................................................... |
10 |
2.3. Программные средства для выполнения работы............................................................ |
11 |
2.4. Порядок выполнения работы........................................................................................... |
12 |
Тема 3. Моделирование цепей Маркова.................................................................................... |
14 |
3.1. Цель работы...................................................................................................................... |
14 |
3.2. Теоретические положения ............................................................................................... |
14 |
3.3. Программные средства для выполнения работы............................................................ |
16 |
3.4. Порядок выполнения работы........................................................................................... |
16 |
Тема 4. Динамика вероятностей состояний цепей Маркова..................................................... |
19 |
4.1. Цель работы...................................................................................................................... |
19 |
4.2. Теоретические положения ............................................................................................... |
19 |
4.3. Программные средства для выполнения работы............................................................ |
20 |
4.4. Порядок выполнения работы........................................................................................... |
21 |
Тема 5. Предельные вероятности состояний цепей Маркова. .................................................. |
22 |
5.1. Цель работы...................................................................................................................... |
22 |
5.2. Теоретические положения ............................................................................................... |
22 |
5.3. Программные средства для выполнения работы............................................................ |
24 |
5.4. Порядок выполнения работы........................................................................................... |
24 |
Тема 6. Пуассоновский поток требований в СМО .................................................................... |
25 |
6.1. Цель работы...................................................................................................................... |
25 |
6.2. Теоретические положения ............................................................................................... |
25 |
6.3. Программные средства для выполнения работы............................................................ |
28 |
6.4. Порядок выполнения работы........................................................................................... |
28 |
Тема 7. Случайный двоичный сигнал........................................................................................ |
30 |
7.1. Цель работы...................................................................................................................... |
30 |
7.2. Теоретические положения ............................................................................................... |
30 |
7.4. Порядок выполнения работы........................................................................................... |
31 |
Литература .................................................................................................................................. |
33 |
Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и |
|
материалов к техническим средствам обучения ....................................................................... |
33 |
34