физика 4 семестр

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U 2 = 510 кВ, с энергией покоя электро-

на и в зависимости от этого решим, какую из формул (6.1.4) или (6.1.5) следует

ждения длины волны де Бройля электрона можно воспользоваться формулой

(6.1.4), которая с учетом (6.1.6) принимает вид:

коя электрона. В этом случае для определения длины волны де Бройля электрона необходимо применить формулу (6.1.5), которая с учетом (6.1.6) принимает вид:

Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 13,61 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оце-

нить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и одноименной имеет вид

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится им-

пульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные разме-

ры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неоп-

ределенностью

x 2 .

Соотношение неопределенностей (6 . 2 . 1 ) можно записать в этом случае в виде

Произведем вычисления:

Пример 3. Найти импульс и энергию фотона с длиной волны 440 нм.

Решение. Импульс р фотона связан с его длиной волны соотношением:

ние частицы в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной яме шириной .

Вычислить вероятность нахождения частицы в средней трети ямы, т. е. в облас-

ти 3 x 23 .

Решение. Вероятность dP обнаружения частицы в промежутке между точ-

ками x и x+dx пропорциональна этому интервалу dx и квадрату модуля волно-

вой функции, описывающей данное состояние:

Знак модуля опущен, так как в данном случае функция (x) не является ком-

плексной.

где k – постоянная Больцмана.

Тогда максимальная энергия фонона равна

Пример 6. Определить количество теплоты Q , необходимое для нагревания

кристалла NaCl массой т = 20 г от температуры T1 = 2 К до температуры T2

Решение. Количество теплоты Q , подводимое для нагревания тела от тем-

пературы T1 до T2 , может быть вычислено по формуле

где Ст – теплоемкость тела.

Теплоемкость Ст тела связана с молярной теплоемкостью Сm вещества это-

го тела соотношением

где m – масса тела; М – молярная масса вещества тела. Молярная масса NaCl

В общем случае теплоемкость Ст есть сложная функция температуры, по-

этому выносить ее за знак интеграла нельзя. Однако если выполнено условие

T D , то нахождение Q облегчается тем, что можно воспользоваться пре-

дельным законом Дебая, согласно которому теплоемкость пропорциональна ку-

бу термодинамической температуры Т:

где R – универсальная газовая постоянная.

Подставляя выражение молярной теплоемкости Ст (6.6.4) в равенство

(6.6.3), получим

Выполним интегрирование:

Переписав полученную формулу в виде

Пример 7. Вычислить энергию ядерной реакции

37 Li 24He 105 B 01n .

Освобождается или поглощается энергия?

Решение. Энергию Q разность суммарных энергий покоя ядер и частиц до и после реакции Е01 – Е02:ядерной реакции вычислим как

Q E01 E02 ,

где Е01 – сумма энергий покоя исходных ядер ( 37 Li и 24 He ), Е02 – сумма энергий покоя продуктов реакции (105 B и нейтрона).

Взяв из таблиц массы 37 Li , 24 He , 105 B и нейтрона в атомных единицах массы и учитывая, что энергия покоя, соответствующая 1 а.е.м. = 1,66·10–27 кг, равна 931

МэВ, получим

Т. к. Q < 0, то в ходе данной ядерной реакции энергия поглощается.

Пример 8. Определить число ядер, распавшихся за 2 суток, в радиоактивном изотопе йода 13153 I массой 1 мг. Период полураспада изотопа T = 8 сут.

Решение. Количество N распавшихся ядер радиоактивного изотопа к мо-

менту времени t можно найти как разность между исходным числом N0 ядер и количеством N оставшихся ядер к этому моменту времени. Тогда согласно ос-

новному закону радиоактивного распада искомое количество N равно

где – постоянная радиоактивного распада, связанная с периодом полураспада Т данного изотопа как

Определить постоянную радиоактивного распада и период полураспада этого изо-

топа.

Т. к. найденное число N = 2,66·1021 ядер радия много больше числа 3,61·1010

ядер, распавшихся за секунду (числа излучаемых за секунду -частиц), то можно считать, что в течение рассматриваемого промежутка времени число N радиоак-

тивных ядер остается практически неизменным. Поэтому для нахождения посто-

янной распада воспользуемся законом радиоактивного распада в дифференци-

альной форме:

Период полураспада Т радиоактивного вещества связан с постоянной распада соотношением:

Подставим числовые значения и вычислим:

Пример 10. Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата магния 1227Mg массой т = 0,2 мкг, а также его активность А1 в момент времени t1 =

6 ч. Период полураспада магния равен 10 мин.

Решение. Активность А изотопа является характеристикой интенсивности излучения большой совокупности радиоактивных ядер в целом и равна среднему числу распадов в единицу времени:

Знак «–» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убыва-

ет.

Зависимость N (t) числа нераспавшихся (оставшихся) от времени t определя-