Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ТВиМС.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

848.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

государственныйш

Лекция 7

P(A | B)

событияинформатикиА, при условиис

что событие В произошло определяется по

Условные законы распределения вероятностей с.в. Условная вероятность

радиоэлектроники

B(B)

Белорусский

университет

формуле

государственныйш

B) =

P( A I B)

P(B) ± 0 .

P( A |

информатики

Пусть ( X ,Y )

двумерный случайный вектор и f (x, y)

- совместная плот-

ность распределения вероятностей с.в. X и Y . Условная вероятность события

( X < x)

при условиие

, что произошло событие ( y ≤ Y < y + ∆y)

выразится соотк-

y+∆y

радиоэлектроникиx y+∆y

Белорусский

ношением

( y)

маргинальная

плотность вероятностейуниверситет

с.в. Y.

Тогда

мПусть f

P(X < x | y

≤ Y

< y

+ ∆y)

P(X

< x, y

≤ Y < y + ∆y)

. В

P( y ≤ Y < y + ∆y)

P( y ≤ Y < y + ∆y) = ∫ f y (u)dv, а P(x < X , y ≤ Y < y + ∆yд) =

∫ ∫ f (u, v)du dv .

−∞

y+∆y

∫

а∫ f (u,v)du dv

P( X < x | y ≤ Y < y + ∆y) =

−∞

y+∆y

∫ f y (υ)dv

государственныйш

Применив теорему о среднем для интегралов по ν на отрезке [y, y + ∆y] и

получим

перейдя к пределу при ∆y → 0

информатики

∫ f (u, y)du

−∞

радиоэлектроники

P(X < x | Y

= y) =

f (u, y) du

ким образомБелорусский,

университет

∫

государственныйш

Обозначим P(X

< x | Y =иy) = F (x | Y = y) . Функция F (x | Y = y) называ-

ется условной функциейВ

распределеният

с.в. X, при условии что с.в. Y = y . Та-

информатики

−∞

радиоэлектроники

f (x, y)

Fx (x | Y = y)

f y ( y)

университет

ятностейК

f x (x |

Y = y) =

Дифференцируяф

это равенство по

x, получаем условную плотностьВ т

веро-

f y ( y)

Аналогично функции

∫ f (x, v) dv

−∞

( y

= x)

=и

f x

государственныйш

(x)

информатикис

f (x, y)

Fy ( y

X = x) =

f x (x)

называются

условной

функцией распределения

и условной

соответственноВ

плотностьюБелорусскийвероятностей с.в. Y при условии, что с.в. X = x .

университет

Пусть для дискретной двумерной случайной величины (X ,Y )

возможные

радиоэлектроники

государственныйш

,..., xn

; y1 , y2 ,..., ym .

значения составляющих таковы: x1 , x2

Y = y

Условныме

распределением составляющей X при

называют сово-

информатики

)

i =1, 2, ... n , вычисленных в преди

купностьф условных вероятностей P(x

что событие Y = y j

уже наступило. Аналогично определяетсяВ т

ус-

положение,

Белорусский

ловное распределение составляющей Y.

университет

Условные законы распределения составляющих

X и Y определяются со-

радиоэлектроники

отношениями

P(xi , y j )

P(xi

| y j

) =

i =

1, 2, ... n .

P( y j )

P(xi , y j )

P( y j

| xi

) =

=1, 2, ... m .

P(xi )

Условные законы распределения обладают всеми свойствами соответст-

вующих им одномерных форм законов распределения.

Функция одного случайного аргумента.

подвергается детерминирован-

Пусть некоторая случайная величина

ному преобразованию ϕ , в результатей

которого получится величина Y = ϕ(x) .

Очевидно, что величина Y будетислучайной и возникает задача опреде-

лить закон распределениягосударственныйслучайнойш

величины

Y по закону распределения ве-

личины

информатики

известно.

Выясним,

как по известной

если преобразование

плотности

с.в.

найти

плотность

вероятностей

с.в.

вероятностей

(x)

Y = ϕ(x) .

Белорусский

−1

( y)

= g(еy)

ПустьуниверситетY = ϕ(x) - монотонная функция для всех x R , а x = ϕ

- обратнаярадиоэлектроникией функция. Тогда плотность вероятностей

( y)государственныйс.в. Y = ϕ(x)шиме-

′

ет вид

еf

(g( y))

информатики

( y)

yе

■ Пустьт

ϕ(x)

строго монотонно возрастающая функция для всех

x R .

(Y < y) = (ϕ(x) < y) = ( X <ϕ

−1

( y))Белорусский= ( X < g( y)) .

Тогда

Событиеа

университет

Fy ( y) = P(Y < y) = P( X < g( y))

= Fx (g( y)) .

Дифференцируя это равенство по

радиоэлектроники

y , получим

( y)

= f

′

строго монотонно убывающая

функция для всех

x R ,

x = ϕ

−1

( y) = g( y)

Тогда

обратная ей функция.

государственныйy

информатики

плотность (ϕ(x) < Y )

( X >ϕ−1

( y)) .

Тогда

(Y < y) = (ϕ(x)

е< y) = (X ≥ ϕ−1 ( y)) = (X ≥ g( y)) .

Отсюда

F ( y) = P(Y

≥ g( y)) =1 − P(X < g( y)) =1 − F (g( y)) .

< y) = P( X

радиоэлектроникиx

Белорусский

Продифференцировав по y , получим

университет

′

f x (x) =

f y ( y) = − f x (g( y)) g ( y) .

государственныйш

. Найти распределение функции Y = x

′

Окончательно,

f y

( y) =

f x (g( y))

g ( y)

Пример.

информатики

Пусть

с.в.

распределена

нормально

плотностьюй

1 д

−

радиоэлектроники

2π

−

Белорусский2 / 3

■фФункция Y = x

университет

дифференцируема и строго возрастает для всех xи R .

′

Обратная ей функция

X = y

= g( y)

g ( y) =

. Искомая плотность веро-

y2 / 3

ятности равна

f y ( y) =

2π

3y 3

векторной

с.в.

Пусть

двумерная

векторная

с.в.

W = (U ,V )

связана

z = (x, y)

соотношениями

К1

(x, y),

v = ϕ

(x, y) ,

где

u = ϕ

(x, y),

v =

(x, y)

определяют

однозначное

отображение.

взаимно

Пусть x = g1 (u, v),

y > g2 (u, v),

обратное отображение с якобианом

государственный

∂g1 ∂g1

D(x, y)

∂u

∂v

информатикиxy

≠ 0 .

∂g2

D(u, v)

∂u

∂v

- дискретная случай-

Функциирадиоэлектроникиот дискретных с.в.

Пусть Y = ϕ(x) , где x

Тогда, если f (x, y)

ссовместная плотность вероятностей с.в. (X ,Y ) , то

Белорусский

fuv (u, v) = f xy (g1 (u, v), g2 (u, v)) D(x, y)

университет

ы(u,v) с.в. (U ,V ) имеет

вид

государственныйш

совместная плотность

аргументаинформатикиX соответст-

ная величинад. Если различным возможным значениям

D(u, v)

радиоэлектроники

то следует складывать вероятности повторяющихсяуниверситетзначений Y.

вуют различные возможные значения функции Y, то вероятностиысоответсти

зна-

вующихфзначений X и Y между собой равны. Если различным возможнымт

чениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой,

Пример.

Найти закон распределения с.в.

распределе-

Y = x , если законм

ния с.в. X задан таблицей

государственныйш

информатики

-3

-2

0,1

0,2

0,3

радиоэлектроники

Белорусский

университет

с.ив. Y = x2 запишется в виде

таблицы

■ Закон распределенияы

государственныйш

информатики

0,3

0,2+0,1=0,3

0,1+0,1=0,2

0,2

Пример.

Найти закон распределения с.в. X +Yрадиоэлектроники, если законы распределе-

Белорусский

ПустьтX и Y

дискретные независимые с.в.

с законом распределения

ром.м

университет

P( Xа= xi ) = Pxi ,

P(Y

= y j ) = Pyj i =1, 2, ..., m;

j =1, 2, ..., n .

Проиллюстрируем способ отыскания закона распределения X +Y приме-

ния независимых X и Y имеют вид

-2

-1

0,3

0,2

0,5

0,1

0,4

■ С.в. X +Y принимает возможные значения (xi

+ y j )= {− 2;−1;0;1;2}.

государственныйш

(X +Y =

−2) = (X

= −2, Y = 0) .

2) .

(X +Yинформатики= 2) = (X = 0, Y =

= −1,Y = 0) .

(X +Y = −1) = (X = −2,Y

=1) U( X

(X +Y = 0) =

(X =

−2,еY =

2) U(X

= −1, Y =1) U(X = 0, Y = 0) .

(X +Y =1) =

(X = −1,

Y = 2) U(X = 0, Y =1) .

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

университет

Так как события Xыи Y независимы, то

P( X = x , Y = y ) = P P . Поэто-

xi yj

му

P( X +дY = 0) = 0,3 0,1+ 0,2 0,5 + 0,5 0,4

= 0,33;

информатикис

P( X +Y = −2) = 0,3а 0,4 = 0,12 ;

0,5 + 0,2 0,4 = 0,23 ;

P(X +Y = −1) = 0,3

1радиоэлектроники2

X+Y

-2

-1

университет

=1) = 0,2 0,1+ 0,5 0,5 = 0,27 ;

P( X

+Y = 2) = 0,5 0,1 = 0,05 .

P( X

Искомый закон распределения с.в. X +Y имеет вид

0,12

0,23

0,33

0,27

0,05

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.201513.58 Кб6ТВИМС - вопросы к экзамену.docx
#
16.03.2016795.85 Кб31ТВиМС 1 зачтено.docx
#
11.05.201531.23 Кб2ТВиМС.doc
#
11.05.2015848.97 Кб13ТВиМС.pdf
#
11.05.2015460.8 Кб23ТВИМС_задания.doc
#
11.05.2015254.98 Кб38ТМиВС 8вариант.doc