Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( -1.65; -1.07) ( -5.89; -1.18) ( -0.70; -4.22) ( -1.66; -3.63) ( -4.82; -1.67) ( -3.64; -1.20) ( -3.35; -3.15) ( -2.03; -3.36)

( -2.50; -1.52) ( -3.27; -2.10) ( -5.56; -1.68) ( -3.13; -0.65) ( -2.80; -2.10) ( -2.01; -0.32) ( -3.45; -4.84) ( -4.35; -0.86)

( -4.23; -0.86) ( -4.04; -0.01) ( -0.30; -3.87) ( -1.23; -1.50) ( -4.70; -0.44) ( -2.28; -3.88) ( -5.27; -1.84) ( -0.67; -3.53)

( -3.60; -1.25) ( -3.41; -1.69) ( -4.52; 0.53) ( -5.45; -1.77) ( -4.94; -2.34) ( -3.43; -4.33) ( -2.46; -0.62) ( -3.13; -3.82)

( -2.19; -1.92) ( -3.34; -0.29) ( -3.77; -3.03) ( -2.76; -4.61) ( -1.71; -4.19) ( -3.12; 0.53) ( -4.84; -1.33) ( -3.57; 0.88)

( -5.35; -0.95) ( -3.05; -2.76) ( -5.47; -1.74) ( -2.68; -1.95) ( -1.64; -1.94) ( -6.17; -0.41) ( -6.01; -0.61) ( -2.91; -3.01)

( -1.59; -1.94) ( -1.67; -2.10)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7, Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

	x	y	x2	y2­	x*y
	6,21	1,60	38,564	2,560	9,936
	5,52	-6,12	30,470	37,454	-33,782
	5,01	-3,09	25,100	9,548	-15,481
	7,00	-1,70	49,000	2,890	-11,900
	5,27	-2,33	27,773	5,429	-12,279
	6,34	-1,00	40,196	1,000	-6,340
	-0,60	0,51	0,360	0,260	-0,306
	1,06	6,05	1,124	36,603	6,413
	4,57	4,13	20,885	17,057	18,874
	-2,75	6,31	7,563	39,816	-17,353
	5,82	-4,21	33,872	17,724	-24,502
	-0,45	3,34	0,203	11,156	-1,503
	3,66	2,63	13,396	6,917	9,626
	-1,17	2,69	1,369	7,236	-3,147
	5,49	1,27	30,140	1,613	6,972
	5,78	0,77	33,408	0,593	4,451
	2,64	3,65	6,970	13,323	9,636
	2,20	4,70	4,840	22,090	10,340
	-4,81	3,06	23,136	9,364	-14,719
	-2,32	0,38	5,382	0,144	-0,882
	-2,94	9,91	8,644	98,208	-29,135
	-1,34	5,50	1,796	30,250	-7,370
	-3,76	7,02	14,138	49,280	-26,395
	x	y	x2	y2­	x*y
	-1,650	-1,070	2,723	1,145	1,766
	-5,890	-1,180	34,692	1,392	6,950
	-0,700	-4,220	0,490	17,808	2,954
	-1,660	-3,630	2,756	13,177	6,026
	-4,820	-1,670	23,232	2,789	8,049
	-3,640	-1,200	13,250	1,440	4,368
	-3,350	-3,150	11,223	9,923	10,553
	-2,030	-3,360	4,121	11,290	6,821
	-2,500	-1,520	6,250	2,310	3,800
	-3,270	-2,100	10,693	4,410	6,867
	-5,560	-1,680	30,914	2,822	9,341
	-3,130	-0,650	9,797	0,423	2,035
	-2,800	-2,100	7,840	4,410	5,880
	-2,010	-0,320	4,040	0,102	0,643
	-3,450	-4,840	11,903	23,426	16,698
	-4,350	-0,860	18,923	0,740	3,741
	-4,230	-0,860	17,893	0,740	3,638
	-4,040	-0,010	16,322	0,000	0,040
	-0,300	-3,870	0,090	14,977	1,161
	-1,230	-1,500	1,513	2,250	1,845
	-4,700	-0,440	22,090	0,194	2,068
	-2,280	-3,880	5,198	15,054	8,846
	-5,270	-1,840	27,773	3,386	9,697
	-0,670	-3,530	0,449	12,461	2,365
	-3,600	-1,250	12,960	1,563	4,500
	-3,410	-1,690	11,628	2,856	5,763
	-4,520	0,530	20,430	0,281	-2,396
	-5,450	-1,770	29,703	3,133	9,647
Сумма:	-4,940	-2,340	24,404	5,476	11,560

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью , По таблице функции Лапласа [1, стр, 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблицы функции Лапласа ,

Так как , то гипотеза принимается, т,е, величины и не коррелированны,

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 9):

Список литературы

1. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, А, В,Аксенчик, Теория вероятностей и математическая статистика: метод, указания по типовому расчету ,– Минск БГУИР, 2009, – 65 с,: ил,

2. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ, всех спец, и форм обучения,– Минск БГУИР, 2003, – 84 л,