Shpory

1. Законы Ньютона

В фундаменте динамики лежат 3 закона Ньютона.

1. Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения пока воздействие со стороны других тел не заставит изменить это состояние.

Масса – мера инертности тела (способность тела сопротивляться изменению состояния).

Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.

2. Скорость изменения импульса тела равна равнодействующей всех сил, действующих на тело.

=m=

3. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению.

Третий закон Ньютона выполняется только при непосредственном соприкосновении двух тел, а так же при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел.

2. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции.

При вращении твёрдого тела вокруг оси каждая элементарная точка с массой m_i совершает движение с угловой частотой, равной:

ω=

Тогда кинетическая энергия будет вычисляться по формуле:

E====Iω² =>

I= где I-момент инерции.

I=

Моменты инерции некоторых тел:

1. Момент инерции тела массой m, находящегося на расстоянии a от оси вращения: I=ma²

2. Момент инерции тонкого однородного обруча, кольца или тонкостенного цилиндра относительно оси вращения:

3. Момент инерции сплошного цилиндра или диска относительно оси вращения:

4. Момент инерции однородного шара относительно оси вращения, проходящего через его центр:

5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:

3. Момент импульса. Момент силы.

Для описания сложного движения материальных тел вводится понятие момента импульса.

Момент импульса относительно точки это векторная физ. величина, вычисляется по формуле: (рисунок)

Момент импульса относительно оси вращения это скалярная физическая величина, равная проекции на ось.

(рисунок)

Для твёрдого тела проекция момента импульса равна: закон движения вращающегося тела.

Для описания движения вращающегося тела вводится также понятие момента силы: (рисунок)

,

=>

Для проекции момента силы на ось Z можно записать: Уравнение движения вращающегося тела.

4. Уравнение движения вращающегося тела.

Для описания движения вращающегося тела вводится понятие момента силы: (рисунок)

=>

Для проекции момента силы на ось Z можно записать: => Уравнение движения вращающегося тела.

5. О закономерностях изменения оси вращения вращающегося тела.

(рисунок из конспекта)

Пусть диск вращается вдоль оси Z с угловой скоростью (ω – большое). Пусть в результате какого-то воздействия ось повернулась в плоскости XY на угол

=L=L ω; = L ω

1. Направление вектора - вдоль оси X

2. Поворот оси вращения в плоскости XZ можно расценивать как дополнительное вращение вокруг оси Y

L= ; =

Определим N след. Образом:

=, где h – вектор, длина которого это расстояние между точками приложения сил.

==

6. Вращающийся волчок.

(рисунок из конспекта)

Если бы на волчок не действовали никакие силы, то: =, =const

m стремиться повернуть ось вниз, однако ось вращения будет поворачиваться не вниз, а перпендикулярно плоскости, проходящей через ось z и ось вращения волчка.

=[,]=

=m[]=ml[], =

=

==[] - для вращающегося тела.

[]=x

=- - частота прецессии.

7. Преобразования Галилея.

(рисунок из конспекта: две системы координат)

Пусть движется относительно

==,

Концепция абсолютного времени:

Рассмотрим 2 точки и , в системе и в системе и

Найдем расстояние между точками в системе : ====

=

Закон преобразования скоростей

=

Дифференцируем закон сложения скоростей, получаем 

законы механики Ньютона удовлетворяют принципу относительности. Однако, когда в разных системах координат стали рассматривать распространение электромагнитного поля, описанного уравнением Максвелла, оказалось, что уравнение не удовлетворяют принципу относительности. Уравнения Максвелла удовлетворяют принципу относительности тогда, когда скорость электромагнитной волны была одинакова во всех системах отсчета, независимо от скорости состемы отсчета: ;

8. Преобразования Лоренца

Когда в разных системах координат стали рассматривать распространение электромагнитного поля, описанного уравнением Максвелла, оказалось, что уравнение не удовлетворяют принципу относительности. Уравнения Максвелла удовлетворяют принципу относительности тогда, когда скорость электромагнитной волны была одинакова во всех системах отсчета, независимо от скорости состемы отсчета: ;

Требования к преобразованиям координат

1. При малых скоростях эти преобразования должны переходить в преобразования Галилея

2. Связь между координатами должна носить линейный характер:

Уровняем в размерностях пространственные и временные координаты

если ⇾0, если⇾0, 0 если ⇾0

Совместим и в и и в момент времени , двинется со скоростью и в этот же момент из излучается сферический импульс света.

Условие постоянства скорости света в и может быть записано:

Уравнение фронта световой волны имеет вид:

,

, ,

, - преобразования Лоренца, - релятивийский корень

,

Преобразования Лоренца отличаются от Галилеевских. В преобразованиях Галилея пространственные и временные интервалы абсолютны и не зависят от движения СО. Согласно преобразованиям Лоренца наблюдатели, находящиеся в разных СО, видят (измеряют) один и тот же интервал разным.

9. Пространственные и временные интервалы в различных СО

(рисунок из конспекта: две системы координат)

Пусть наблюдатель в движущейся СО измеряет длину находящегося там стержня, отмечая координаты его концов =С помощью преобразований Лоренца определим длинну этого же стержня с точки зрения наблюдателя, покоящегося в системе движется со скоростью , где определения координат стержня.

Для корректного измерения длины стержня, его начало и конец должны быть определены в один и тот же момент времени: .

=

Пусть системы и совмещены началами координат и в них находятся синхронизированные часы. Система двинулась со сокоростью относительно

(рисунок из конспекта: две системы координат)

Пусть в в точке и произошли 2 события интервал между которыми равняется . Каким будет этот интервал, измерянный часами в системе ? Интервал может быт определен с помощью преобразований Лоренца:

Чтобы исключить зависимость временных интервалов от координат, положим, что 2 события происходят в одной точке в системе

– таким образом, наблюдатель в системе , измеряющий интервал по своим часам, обнаружит, что интервал больше чем в системе :

Как следует из выше приведенного материала, в системе покоя пространственный интервал имеет максимальную длину (собственная длина). Временной интервал в системе покоя, между событиями, происходящими в одной точке – минимален (собственное время).

10. Закон сохранения импульса.

Импульс =m. Для скоростей, близких к скорости света: =

где m₀ – масса покоя тела, а m – релятивистская масса.

Экспериментально было установлено, что при взаимодействии двух тел массами m₁ и m₂ изменение их скоростей удовлетворяет следующему уравнению:

M₁Δ₁=-M₂Δ₂, Δ₁=-Δ₂, ₁+₂=const

Для изолирования системы, на которую не действуют никакие силы, или равнодействующая всех сил равна нулю, суммарный момент импульса равен постоянной величине.

Если система состоит из n тел, то:

=const

11. Работа и кинетическая энергия.

Пусть на тело массой m действует сила (рисунок)

(рисунок)

,

Как следует из полученной формулы для A – она зависит от формы траектории.

- результирующая сил

,

,

Таким образом, работа, произведенная силой, может быть определена как увеличение кинетической энергии тела, движущегося под действием сил.

12. Работа и потенциальная энергия.

В отличие от массы, которая является свойством материального объекта, понятие силы представляет собой эффект воздействия на этот объект других материальных объектов, а задачей физики является описать эволюцию этого тела в пространстве и во времени.

Однако на практике зачастую оказывается затруднительным дать явный функциональный вид для силы, и в этом случае вводят понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия – если она существует для данного физического процесса, то по определению она вводится следующим образом: энергия, через которую определяется сила.

– из полученной формулы следует, что работа, произведенная силой, определяется только положениями начальной и конечной точек, и не зависит от формы пути. Этот факт условием (необходимым и достаточным) для существования потенциальной энергии. Соответствующие силы F определяемые через эту энергию называются консервативными.

(рисунок) , т.к. - ротор равен нулю, это значит что линии поля прямые.

13. Сохранение полной механической энергии.

Если мы имеем дело с силами, определяемыми через потенциальную энергию, то при совершении работы имеют место 2 эффекта:

1. Совершаемая работа равна увеличению кинетической энергии

2. Совершаемая работа равна уменьшению потенциальной энергии

В связи с этим можно сделать заключение, что изменение полной энергии равно нулю.

∆

При малых скоростях:

Общий случай закона сохранения энергии

(рисунок: наклонная плоскость)

– сила, действующая со стороны тела на плоскость. Действие этой силы состоит в том, что при движении тела по поверхности происходит изменение кинетической и потенциальной энергии атомов входящих в состав тела и плоскости – это диссепация механической энергии в тепловую.

– полный закон сохранения энергии.

14. Сохранение момента импульса.

Нами уже установлено, что момент импульса сохраняется в отсутствие внешних сил, а полная энергия сохраняется в потенциальном силовом поле.

15. Кинетическая энергия движения по сложной траектории (с учётом момента импульса).

Движение в поле центральной силы

Силовое поле называется центральным, если сила, действующая на тело, направлена вдоль радиус-вектора. Когда сила направлена вдоль линии, соединяющей движущееся тело и силовой центр, в поле которого происходит движение

(рисунки)

=,

Для анализа сложного движения в поле центральной силы, разделим движение, связанное с изменением радиуса и движение связанное с поворотом на определенный угол.

(рисунок) 

,

,

16. Движение в поле сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния.

Потенциальная энергия полей консервативных сил, обратно пропорциональных квадрату расстояний:

,

17. Связанное состояние и движение по эллиптическим орбитам (эффективная потенциальная энергия).

При движении в поле центральной силы, материальная частица массой m, может обладать различными скоростями, при этом в одних случаях система оказывается связанной, и движение происходит в ограниченной области, в других случаях частица может уйти на бесконечность.

(график)

Связанное состояние может быть только, если полная энергия

Определение критической скорости, при которой произвольное тело массой m может выйти за пределы силового поля

Пусть движение начинается в r=R

Вне зоны действия сил гравитации скорость , а расстояние равно ∞

=0=

Следует - не зависит от траектории движения тела. – вторая космическая скорость.

Эффективная потенциальная энергия.

Полную энергию движущегося тела массой m в потенциальном поле U можно представить в виде:

При движении в поле центральной силы оказывается возможным рассматривать процессы движения как одномерные, анализируя только и . Кроме того полную энергию можно записать в виде: ,

Такой подход позволяет определить все характеристики движения системы

18. Движение планет. Законы Кеплера.

Определим скорость, с которой движется частица, имеющая минимальную потенциальную энергию

Рассмотрим более сложный случай, когда , но

Так как линия пересекает в двух точках, то очевидно, что движение будет осуществляться в поле силового центра, таким образом, что расстояние до него будет изменяться от минимального до .

и - точки поворота, в которых скорость равна нулю, тогда значение этих точек, можно найти из уравнения

, ,

Предположим, что , ⇒,

Частица массы движется в поле силового центра, таким образом, что ее расстояние меняется от до , центр находится внутри траектории. Такой траекторией является эллипс.

(рисунок)

– большая полуось. , тогда , . В ситуации, когда – максимален, – движение по окружности

, – эксцентриситет

При

(рисунок)

Для окружности

Для эллиптических орбит формула остается такой же, только вместо ставится большая полуось эллипса. Полная скорость

(рисунок)

При этом , , , , ,

(рисунок)

За время проходит

, , ,

⇒ за равные промежутки времени радиус вектор, характеризующий положение материальной точки , «выметает» равные площади. Таким образом, если подставить ) мы получим законы, управляющие движением планет в солнечной системе, которые сформулировал Кеплер следующим образом:

1. Траекториями планет являются эллипсы (в одном из фокусов – Солнце)

2. Квадраты периодов вращения относятся как кубы больших полуосей

3. За равные промежутки времени радиус-вектор выметает равные площади

19. Неинерциальные системы отсчёта. Центробежная сила. Сила Кориолиса (написать закон движения тела вокруг оси).

(рисунок из конспекта)

Для простоты рассмотрим случай, когда движется поступательно относительно

, скорость движения точки О системы (переносная скорость). скорость точки M относительно S

, сила инерции, которую надо учитывать при описании движения в неинерциальных системах координат. Задачей физики является определение траектории движения тела, на которое действует реальная сила.

Пусть система движется произвольным образом по любой сложной траектории. Можно показать, такое движение можно представить как поступательное движение начала системы координат и вращательного движения вокруг мгновенной оси проходящей через начало координат.

радиус-вектор в системе .

,

, ,

Выражение в первых скобках – это скорость, которую измеряет наблюдатель, находящийся в системе (относительно него не меняются в пространстве)

,

Закон движения можно получить из второго закона Ньютона

- реальная сила

не инерциальная система отсчета

1. - связано с ускорением движения системы

2. - обусловлено переменной угловой скоростью вращения

3. - сила Кориолиса

4. – центробежная сила

Для того чтобы описать движение тела в системе в уравнение движения необходимо включить все силы инерции, возникающие при движении

Сила Кориолиса (рисунок)

Центробежная сила (рисунок)

20. Колебательное движение. Гармонические колебания.

Колебательным называется движение, которое полностью повторяется через равные промежутки времени – периоды колебания

– частота,

Гармоническое движение – такое движение, когда смещение тела описывается формулой

), где - начальная фаза

Колебательные движения удобно описывать, взяв за основу потенциальную энергию тела

Разложим в ряд Тейлора:

Выберем ; известно, что в точке равновесия ⇒

- квазиупругая сила

,

21. Математический маятник. Крутильный маятник.

(рисунок)

, ,

,

(рисунок)

– момент сил

,

22. Физический маятник.

(рисунок)

Для малых углов

, - длинна такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом физического маятника. – центр качания физического маятника.

23. Затухающие колебания.

(рисунок)

При движении имеет место диссипация энергии. Для описания движения необходимо ввести силу трения

, ,

λ

=

,

(рисунок: график)

Затухание колебаний определяется уменьшением амплитуды за период колебания

– логарифмический дискремент затухания

24. Вынужденные колебания.

(рисунок)

Пусть сила, действующая на шарик,

– способ описания движения

,

При действии внешней силы наступает момент, когда потери энергии на диссипацию компенсируются работой внешней силы. При этом устанавливается стационарный процесс колебаний, причем колебания происходят с частотой вынуждающей силы

– амплитуда

,

Из теории функции комплексного числа следует, что комплексный знаменатель можно представить в виде:

, ,

, , - частота собственных колебаний

,

25. Волны. Волновое уравнение (фаза).

Явление распространения колебаний в пространстве называется волновым движением или волной.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания в данный момент времени называются волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся с одинаковой фазой, называется волновой поверхностью. Уравнением волны называется уравнение, которое определяет смещение частицы среды в данной точке пространства в данный момент времени.

Волновой процесс в общем случае описывается законом смещения атомов среды относительно положения равновесия.

Таким образом, в точке x имеет место колебание, которое τ секунд назад было в точке

26. Скорость упругих волн в различных средах.

Пусть данный цилиндр – маленький фрагмент твёрдого тела, по которому движется упругая волна.

В плоскости x смещение атомов около положения равновесия равно ξ, в плоскости x+Δx – ξ+Δξ, причём Δξ может иметь разный знак.

– деформация твёрдого тела в точке x.

Реакция среды на распространение волны определяется внутренним напряжением E – модуль Юнга.

В связи с тем, что атомы в твёрдых телах жёстко связаны друг с другом, волновой процесс имеет сложных характер.

Пусть основанию этого цилиндра сообщён единственный импульс, тогда атомы плоскости S за время переместятся на .

За сформированная в результате воздействия волна распространиться на расстояние , где - фазовая скорость.

В объёме имеет место деформационный процесс, связанный с распространением волны.

Реакция вещества на внешнее воздействие (волну) определяется напряжением.

E – модуль Юнга.

- скорость распространения продольных волн.

G – модуль сдвига.

Если в среде атомы слабо связаны друг с другом и она однородна, что k – модуль всестороннего сжатия.

27. Энергия упругих волн.

Распространяясь по твёрдому телу, упругая волна переносит энергию, которая состоит из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии деформации этой среды.

Выделим в среде объём V настолько малый, что все смещения внутри него можно считать одинаковыми.

При деформации твёрдого тела внешние силы совершают работу, которая переходит в потенциальную энергию деформации.

Для деформации цилиндра на величину x к нему необходимо приложить силу

Элементарная работа, необходимая для деформации стержня на этой силой:

Работа, необходимая для деформации стержня на dl равна сумме элементарных работ на этом участке

Применим эти рассуждения к распространению волны по твёрдому телу:

Наиболее применимым в физике понятием является плотность энергии

Таким образом, энергия упругих колебаний изменяется как

Средняя плотность энергии по периоду колебаний:

Количество энергии, проходящее через данную площадь в единицу времени называется потоком энергии.

Вектор Умова.

Интенсивностью упругой волны называется среднее значение вектора .

28. Тепловое движение. Степени свободы.

Тепловое движение – характеристика движения атомов или молекул среды, которые испытывают как упругие так и неупругие столкновения.

Движение молекулы можно разделить на поступательное, вращательное и колебательное.

1. При поступательном движении энергетическое состояние молекулы определяется тремя величинами

2. Вращательное движение:

3. При описании произвольного колебательного движения его необходимо разделить на простейшие колебания вдоль осей x, y и z.

В этом простейшем колебании есть 2 независимые друг от друга величины А и ω  колебательное движение описывается шестью независимыми величинами, т.е. имеет 6 степеней свободы.

Степенями свободы называются независимые друг от друга величины, описывающие состояние системы.

Таким образом, с учётом степеней свободы энергию произвольной термодинамической системы можно записать следующим образом:

Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия:

29. Первое и второе начало термодинамики.

Внутренняя энергия системы состоит из всех видов кинетической и потенциальной энергии всех компонент системы.

Для разряженного идеального газа - энергия, приходящаяся на одну степень свободы, – число степеней свободы.

Внутренняя энергия является основной характеристикой системы и описывает её фазовое состояние.

Для любой термодинамической системы можно записать ЗСЭ:

Первое начало термодинамики утверждает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии равно разности между количеством теплоты Q и работой A, совершаемой системой над внешними телами.

- приращение.

Внешней положительной работой называется та работа, которую совершают силы со стороны термодинамической системы над внешними телами (например, расширяющийся газ двигает поршень вверх).

Тепло, получаемое системой, считается положительным, а отдаваемое – отрицательным.

Любая тепловая машина, работающая циклически, характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД), который определяется как отношение совершаемой за цикл работы к получаемому за этот же цикл теплу.

Приняв во внимание то, что , получим

Из определения следует, что КПД не может быть больше единицы.

Второе начало термодинамики может быть сформулировано несколькими способами:

1. Энтропия изолированной системы не может убывать.

2. Невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому. (формулировка Клаузиуса)

3. Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара. (формулировка Томсона)

30. Энтропия системы. Изопроцессы.

При изопроцессах один из параметров состояния считается постоянным.

Изохорный процесс:

Изобарический процесс:

Изотермический процесс:

Адиабатический процесс: система не обменивается теплотой с окружающей средой (). Работа совершается за счёт внутренней энергии термодинамической системы.

(график всех процессов на PV ск).

При переходе системы из одной термодинамической системы в другую промежуточные состояния могут быть как равновесными, так и неравновесными.

Равновесные состояния характеризуются либо максимальной вероятностью состояния, либо минимальной энергией, либо и тем и другим.

Будучи в неравновесном состоянии система через какое-то время, называемое временем релаксации, переходит в равновесное состояние.

Термодинамическая вероятность размещения N частиц по n состояниям определяется следующей формулой:

Такую ситуацию Больцман предложил описывать с помощью энтропии.

S – энтропия наиболее вероятного состояния максимальна.

31. Основное уравнение МКТ газов.

(рисунок, круг)

Импульс , сообщенный стене в точке А равен .

Число столкновений ν этой молекулы со стенкой в одну секунду равно .

Для всех N молекул импульс P, полученный сферой за одну секунду будет равен

Тогда давление

E – полная кинетическая энергия всех молекул.

Из закона (1) можно получить законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей-Люссака.

Наиболее обобщающей является формула Менделеева-Клайперона .