8.3 Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости

Предполагается, что двумерная случайная величина (X, Y) распределена по нормальному закону.

Алгоритм проверки гипотезы следующий.

1. Формулируется гипотеза:

H₀: r_x,y = 0;

H₁: r_x,y ¹ 0.

Здесь r_x,y - теоретический коэффициент корреляции.

2. Вычисляется оценка коэффициента корреляции по формуле

, (8.10)

где и- выборочные средние.

3. Определяется значение статистики

, (8.11)

которая распределена по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы, если гипотеза H₀ верна.

4. По заданному уровню значимости a вычисляется доверительная вероятность g = 1 - a и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение .

5. Если , то гипотезаH₀ отклоняется, а следовательно, вели­чины X и Y коррелированны. В противном случае гипотеза H₀ принимается.

Пример8.1 Проверить гипотезу

H₀ : r_x,y = 0;

H₁ : r_x,y ¹ 0

при следующих данных: n = 20; a = 0,05. Предполагается также, что двумерный закон распределения нормальный.

Решение. Вначале вычислим значение статистики t по формуле (8.11)

Из таблицы Стьюдента выбираем критическое значение

Так как то гипотеза H₀ принимается, потому что нет оснований ее отклонить.

Пример 8.2. С помощью критерия c² выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения случайной величины X, вариационный ряд, интерваль­ные таблицы и гистограммы распределения которой приведены в примере 5.2. Уровень значимости a равен 0,05.

Решение. По виду гистограмм, приведенных на рис. 5.3 и рис. 5.4, выдви­гаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H₀ : f(x) = N(m, s);

H₁ : f(x) ¹ N(m, s).

Значение критерия вычисляем по формуле (8.1):

Как отмечалось выше, при проверке гипотезы предпочтительнее использовать равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности p_i рассчитываем по формуле (8.4). При этом полагаем, что

p₁ = 0,5(Ф((-4,5245+1,7)/1,98)-Ф((-¥+1,7)/1,98)) = 0,5(Ф(-1,427)-Ф(-¥)) =

= 0,5(-0,845+1) = 0,078.

p₂ = 0,5(Ф((-3,8865+1,7)/1,98)-Ф((-4,5245+1,7)/1,98)) =

= 0,5(Ф(-1,104)+0,845) = 0,5(-0,729+0,845) = 0,058.

p₃ = 0,094; p₄ = 0,135; p₅ = 0,118; p₆ = 0,097; p₇ = 0,073; p₈ = 0,059; p₉ = 0,174;

p₁₀ = 0,5(Ф((+¥+1,7)/1,98)-Ф((0,6932+1,7)/1,98)) = 0,114.

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

Тогда

= 100 × (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +

+ 0,0285 + 0,0315 + 0,0017 ) = 100 × 0,1207 = 12,07.

После этого из таблицы "Хи - квадрат" выбираем критическое значение

.

Так как то гипотезаH₀ принимается (нет основания ее отклонить).

Пример 8.3. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равно­мерном законе распределения R(0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости 0,5.

Решение. Вариационный ряд данной выборки имеет вид:

0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.

После этого строим график эмпирической функции распределения F*(x).

Теоретическая функция распределения F₀(x) равномерного закона R(0,5;5,25) равна

.

Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F₀(x) равна 0,36 при х = 1,16.

Вычислим значение статистики l

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение Так какl < 1,36 , то гипотеза о равномерном законе распределения принимается.

ЗАДАЧИ

8.1. С помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о законе распределения случайной величины по выборкам, приведенным в задачах 5.2-5.4.

8.2. По критерию c² проверить гипотезу о законе распределения по выборке, приведенной в задаче 5.5.

8.3. По критерию c² проверить гипотезу о нормальном законе распределения по интервальной таблице

i	Ai	Bi	hi	ni
1	-15,52	-8,42	7,10	10
2	-8,42	-5,03	3,39	10
3	-5,03	-2,92	2,11	10
4	-2,92	-0,06	2,86	10
5	-0,06	2,18	2,24	10
6	2,18	3,72	1,54	10
7	3,72	5,68	1,96	10
8	5,68	6,75	1,07	10
9	6,75	10,41	3,66	10
10	10,41	16,99	6,58	10

При этом необходимо учесть, что

8.4. Проверить гипотезу о равномерном и экспоненциальном законах распределения по данным задачи 8.3.

Проверить гипотезу о некоррелированности случайных величин X и Y, предполагая, что двумерный закон распределения нормальный.

8.5.

8.6.

8.7.