2.2.6. Вещественные числа

Во многих языках программирования число, записанное с десятичной точкой, называют вещественным числом.

Для представления в машине вещественных чисел используется формат с «плавающей» точкой, т.е. используется нормализованная форма записи числа. Нормальная форма широко используется в математике для укороченной формы записи многоразрядных чисел, особенно если он содержит в себе значительное количество 0:

1 000 000= 10⁶, 0.000 000 456= 0.456 10^-6, 1 567 589= 1.567589 10⁶.

При нормальной форме число представляется в виде мантиссы со знаком и показателя порядка n, записанного в виде 10ⁿ. Для нормализованной формы характерна следующая конструкция:

<знак числа> 0. <мантисса>  <основание системы> <знак порядка> <порядок>, причем мантисса всегда начинается со значащей цифры, т.е. она не может быть равна 0!

Пример нормализованных чисел:

1 000 000= 0.1 10 ⁷ 1 567 589= 0.1567589 10⁷

-542.39= - 0.5423910 ³ 0.000 000 456= 0.456 10^-6

43.71₍₈₎= 0.4371 10²₍₈₎ 100111.011₍₂₎= 0.100111011 10¹⁰⁰¹₍₂₎

Обратите внимание, что основание любой системы записывается в виде 10.

Теперь подробно рассмотрим машинное представление нормализованных двоичных чисел. Возьмем число 26₍₈₎ и представим его в виде двоичного нормализованного числа (основание и порядок для простоты будем записывать в десятичной системе):

28₍₈₎= 010 110₍₂₎ = 0.010110 ₍₂₎* 2⁺⁶₍₁₀₎ или в нормализованной форме

0. 1011₍₂₎ * 2⁺⁵₍₁₀₎

Но в двоичной системе всего две цифры - 0 и 1. Из них значащая только 1. И следовательно, мантисса М всегда будет начинаться с единицы. Т.е. всегда в двоичной системе выполняется:

0 <= M < 1 (2.9)

Выражение 2.9 говорит о том, что вещественное число в машине не может быть равно нулю. Или (Х-Х) 0 !!! Для того чтобы машина все-таки могла правильно решить это уравнение, в ней производится аппаратное обнуление результата.

В соответствии с вышесказанным для нормализованного двоичного числа конструкция 0.1 будет присутствовать всегда, также как и конструкция *2. Для экономии технических средств эти конструкции аппаратно скрыты (есть понятие скрытая единица), но при вычислениях учитываются. В итоге на уровне машинных средств число

28₍₈₎= 010 110₍₂₎

будет представлено в виде

0 0110 1 101₍₂₎

В ещественное число может занимать два машинных слова и иметь формат, представленный на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Оценим диапазон представления вещественных чисел. Мантисса занимает 16 разрядов младшего слова, 7 разрядов старшего слова и еще одну скрытую единицу. Итого  24 разряда, и диапазон составит 2²⁴. Под порядок отведено 7 разрядов. Знаку «+» соответствует 1, а знаку «-»  0. Порядок основания 2 изменяется в пределах (-128, +127). Это соответствует, примерно, 10^-39 и 10⁺³⁹ .

Запишем уже рассмотренное число 28₍₈₎ в машинном формате (рис. 2.4).

Р ис. 2.4

Если перейти к восьмеричном системе, то вещественное число 28₍₈₎ в машинном формате будет выглядеть:

042540.