ТАУ_руков.по лаб

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= 7,336 , отсюда

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

515.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Wрц( p) =Wpg ( p) Woc ( p) =

k1k2k3koc (T2 p +1)

;

(T 2 p2 +2ξT p +1)(T p +1)

- передаточная функция замкнутой системы по за-

дающему воздействию:

k1k2k3(τ2 p +1)

Wpg ( p)

(T 2 p2

+ 2ξT p

+1)(T p

Wзg ( p) =

k1k2k3koc

(τ2 p +1)

1+W

( p)

pц

1+ (T

2 p2 + 2ξT p

+1)(T p

+1)

k1k2k3(τ2 p +1)

;

(T 2 p2

+2ξT p +1)(T p +1)+k k

k k

(τ

p +1)

2 3

- передаточная функция замкнутой системы по воз-

мущающему воздействию:

Wpf ( p)

k3k4

T p +

Wзf ( p) =

k1k2k3koc (τ2 p +1)

1+W

( p)

pц

+ (T

2 p2

2ξT p +1)(T p +1)

= (T 2 p2 +

k k (T 2 p2 +2ξT p +1)

2ξT p +1)(T p +

1)+k k k k (τ p +1);

1 2

Знаменатель передаточных функций замкнутой системы называется ее характеристическим полиномом, который в нашем случае будет иметь вид:

A( p) = (T12 p2 +2ξT1 p +1)(T3 p +1)+k1k2k3koc (τ2 p +1)=

= a3 p3 +a2 p2 +a1 p +a0,

причем коэффициенты этого полинома будут равны:

a0 = Kp +1; a1 = 2ξT1 +T3 + Kpτ2; a2 =T1(T1 + 2ξT3 ); a3 =T12T3,

где Kp = k1k2k3koc = 50 – коэффициент передачи разомкнутой цепи системы.

4.3.Определение устойчивости САУ по критерию Найквиста и расчет граничного коэффициента передачи разомкнутой цепи

В соответствии с критерием Найквиста, САУ будет устойчивой, если годограф АФЧХ ее разомкнутой цепи не охватывает точку с координатами (−1; j0) на комплексной плоскости при

изменении частоты ω от нуля до бесконечности. Иначе говоря,
для устойчивой САУ необходимо выполнение условий:
Re[W		( jω)]< −1,
	рц	( jω)]=0,
Im[W
		(4.1)
	рц

где Re[Wрц( jω)]и Im[Wрц( jω)] – вещественная и мнимая части

АФЧХ разомкнутой цепи системы Wрц( jω), полученной из передаточной функции Wрц(p) путем замены оператора p на опе-

ратор jω.

В рассматриваемой задаче АФЧХ разомкнутой цепи сис-

темы будет иметь вид:														Kp ( jωτ2 +1)
			Wрљ( jω)=											Kp ( jωτ2 +1)
			Wрљ( jω)=								(1−T 2ω2 +2 jωξT )( jωT +1)											=
												1		( jωτ2		+1)	1			3
												Kp		( jωτ2		+1)
		=		[1−T				(T +2ξT )ω2						]+ jω[2ξT				+T	(1−T		2ω2 )]=				2ω2 )]}
						1			1	3						1		3		1
=	K	p	( jωτ			2	+1){[1−T					(T	+2ξT		)ω2 ]− jω[2ξT						+T (1		−T			=
=		p				2				1		1		3						1	3			1		=
				[1−T					(T	+2ξT )ω2 ]2 +ω2 [2ξT +T (1−T 2ω2 )]2
								1	1			3				[2ξT		1		3	1
	K	p	{1−T (T						+2ξT )ω2				+ω2τ		2	[2ξT		+T		(1−T 2ω2 )]}
		p			1			1		3					2		1	3			1
=	[1−T				(T			+2ξT )ω2 ]2					+ω2[2ξT +T (1						−T 2ω2 )]2					+
			1			1				3						1		3		1

+ jω K[p {τ2 [1−T1(T1 + 2ξT]3 )ω2 ]−[[2ξT1 +T(3(1−T12ω)2])]}.

1−T1(T1 + 2ξT3 )ω2 2 +ω2 2ξT1 +T3 1−T12ω2 2

Таким образом, действительная и мнимая части АФЧХ описываются выражениями:

Re[W			( jω)]=			K			p		{1−T (T +2ξT )ω2					+ω2τ	2	[2ξT +T					(1	−T 2ω2 )]}
									p				1 1		3		2			1		3		1			,
								[1−T					(T +2ξT )ω2 ]2			+ω2[2ξT +T						(1−T 2ω2 )]2					,
	рљ

										ω{τ		1	1	3				1			3			1
Im[W		( jω)]=			K					ω{τ		2	[1−T	(T +	2ξT )ω2 ]−[2ξT +T								(1−T 2ω2 )]}
								p				2	1 1		3					1		3		1		.
							[1−T (T +2ξT )ω2 ]2									+ω2[2ξT +T						(1	−T 2ω2 )]2			.
	рц

											1		1	3				1		3				1
	Приравняв выражение для мнимой части АФЧХ нулю,
рассчитаем квадрат частоты переворота фазы ωπ2 :
2				2ξT1				+T3 −τ2
ωπ	=	T 2T −τ					2	(T 2 + 2ξT T )=
			1	3			2				1		1	3
										2 0,8 0,3 +0,5 −0,1														рад	2
			=																= 73,333						.
			=	0,32	0,5 −0,1(0,32 + 2 0,5											0,3 0,8)			= 73,333						.
				0,32	0,5 −0,1(0,32 + 2 0,5											0,3 0,8)								с

Подставив значение ωπ2 в выражение для действительной части АФЧХ, получим следующее число при Kp =50 :

Re[Wрц( jω)] =

= K[p {1−T1(T1 + 2ξT3 )ωπ]2 +ωπ2τ[2 [2ξT1 +T(3(1 −T12ωπ)]2 )]}= −2,155.

1−T1(T1 + 2ξT3 )ωπ2 2 +ωπ2 2ξT1 +T3 1 −T12ωπ2 2

Так как полученное число по модулю больше, чем -1, то САУ неустойчива.

Определим граничный коэффициент передачи для заданной САУ. Для этого приравняем действительную часть АФЧХ

значению 1 Тогда граничный коэффициент передачи будет

ω=lg =1 2 τ2 .

рассчитываться по формуле:

Kp,гр = −[1−T1(T1 + 2ξT3)ωπ2 ]2 +ωπ2[2ξT1 +T3(1−T12ωπ2 )]2 .

1−T1(T1 + 2ξT3)ωπ2 +ωπ2τ2[2ξT1 +T3(1−T12ωπ2 )]

После подстановки в эту формулу заданных значений по-

стоянных времени и квадрата частоты переворота фазы ωπ2 получим следующую величину граничного коэффициента переда-

чи Kp,гр = 23,2 .

П р и м е ч а н и е . Если в структуре САУ не содержится форсирующих звеньев, то при выделении вещественной и мнимой частей АФЧХ операция умножения числителя АФЧХ на комплексное число, сопряженное знаменателю, не является обязательной. Действительно, пусть выражение АФЧХ имеет вид

W ( jω) =	Kp	, где a, b, c и d – константы, отлич-
	(a + b) + j(c + d)

ные от нуля. Домножим числитель и знаменатель на выражение,


сопряженное выражению,			расположенному в знаменателе. То-
гда получим W ( jω) =		Kp	[(a + b) - j(c + d)]		. Так как по крите-
		(a + b)2 + (c + d)2

рию устойчивости Найквиста Im[W ( jω)]= −(c +d ) = 0 ,						то ее
можно исключить		из	выражения АФЧХ, то			есть
Re[W ( jω)]=	Kp (a +b)	=	Kp	.
	(a +b)2
			a +b

4.4. Анализ устойчивости САУ по критерию Гурвица и построение ее области устойчивости в плоскости варьируемых параметров x1 и x2

Исходным материалом для исследования устойчивости САУ по критерию Гурвица является ее характеристический полином A(p). Система третьего порядка будет устойчивой, если выполняется неравенство

2	=	a2	a0	= a a	2	−a a > 0 ,		(4.2)
2		a3	a1	1	2	3	0
		a3	a1

где a0 , a1, a2 , a3 – коэффициенты характеристического поли-

нома.

На границе устойчивости должно выполняться равенство:

		a1a2−a3a0 = 0 ,						(4.3)
		В рассматриваемом случае
a0		= Kp +1 =51;				a1 = 2ξT1+T3 + Kpτ2 =5,98 c;
		=T (T + 2ξT )= 0,33 c2						.
a	2	=T (T + 2ξT )= 0,33 c2			;	a	=T 2T = 0,045 c3.
	2	1	1	3		3	1	3

Оценим устойчивость САУ по условию (4.2):

a1a2 −a0a3 =5.98 0,33 −51 0,045 = −0,322 .

Т.к. условие (4.2) (положительность главного минора определителя Гурвица 2 ) не выполняется, то система неустойчи-

ва.

Пусть варьируемыми параметрами являются коэффициент передачи и постоянная времени первого звена САУ, то есть

x1 =T1	и x2 = k1 .			Введем третий варьируемый параметр
x3 = Kp	и выведем расчетные соотношения для параметров x1
и x , так как x		=		x3	. В этом случае выражения для коэф-

3	2		k2k3koc

фициентов характеристического полинома примут вид:

a0 (x3) = x3 +1;						a1(x1, x3) = 2ξx1 +T3 + x3τ2;
a	2	(x ) = x (x + 2ξT );				a (x ) = x 2T .
		1	1	1	3	3	1	1	3

Подставим выражения коэффициентов в условие границы устойчивости (4.3) и разрешим полученное выражение относи-

тельно параметра x3 . Тогда получим:

(2ξx1 +T3 + x3τ2 )x1(x1 +2ξT3 )− x12T3(x3 +1)= 0 ;

										16
		x (x ) =			2ξ(x 2			+T	2 + 2ξx T )									(4.4)
		x (x ) =					1	3		1 3 .								(4.4)
		3	1			x1T3 −τ2 (x1 + 2ξT3)
						x1T3 −τ2 (x1 + 2ξT3)
	При подстановке в качестве параметра x1 значения посто-
янной времени T1							в выражение (4.4) рассчитывается граничное
значение коэффициента передачи разомкнутой цепи, что явля-
ется проверкой правильности выполнения п. 3.2.3 задания:
K	p,гр	= x (T ) = 2 0,8 (0,32 +0,52 + 2 0,8 0,3 0,5) = 23,2 .
	p,гр		3	1			0,3 0,5 −0,1 (0,3 + 2 0,8 0,5)
							0,3 0,5 −0,1 (0,3 + 2 0,8 0,5)
		Путем простого пересчета										по формуле			x (x ) =		x3(x1)
															2	1	k2k3koc
																	k2k3koc
строится			граница				устойчивости					САУ		в области		параметров
x1 =T1,гр			и x2 = k1,гр . Результаты вычислений по формуле (4.4)
приведены в табл. 4.1, а сама граница устойчивости изображена
на рис. 4.1.					Область устойчивости САУ будет располагаться
между кривой x2 = f (x1) и осями координат, поскольку именно
здесь выполняется условие k1 < k1,‹р .
x1 = T1,гр ,																Таблица 4.1
x1 = T1,гр ,				0,225			0,25		0,275			0,3	0,325		0,35	0,375		0,4
	с			0,225			0,25		0,275			0,3	0,325		0,35	0,375		0,4
	с
x2 = k1,‹р				15,38			8,2		5,82		4,64			3,94	3,48	3,157		2,192
	20	x2
	20
	15
	10
	5																	x1
																		x1
	0.2		0.23			0.25 0.28				0.3		0.33		0.35 0.38 0.4
			Рис. 4.1. Граница устойчивости САУ

4.5.Построение логарифмических частотных характеристик САУ для заданного запаса устойчивости по амплитуде

Исходя из определения запаса устойчивости по амплитуде G, можно записать следующее уравнение:

G = 20 lg(Kр,гр) −20 lg(Kр) ,

где Kр и Kр,гр – коэффициент передачи разомкнутой цепи и

его граничное значение.

Решая это логарифмическое уравнение, можно рассчитать значение необходимого коэффициента передачи разомкнутой

цепи Kр , исходя из известного Kр,гр и заданного запаса устойчивости по амплитуде G:

Kр =		Kр,гр
			.	(4.5)
		G
	10 20
В рассматриваемом задании, для				G = 10 дБ, в соответст-

вии с формулой (4.5) принимается следующее значение Kр :

k	=	Kр	=	6,874	=1,467 .

1		k2k3kос		2 5 0,5

Логарифмические амплитудная G(ω) и фазовая ϕ(ω) ха-

рактеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) строятся непосредственно по передаточной функции разомкнутой цепи системы, причем

Pi (ω)

m	m
ϕ(ω) = ∑ϕi (ω) =∑arg[Wi ( jω)],		(4.7)
i=1	i=1

где Gi (ω) и ϕi (ω) – ЛАЧХ и ЛФЧХ i-го звена САУ с частотной характеристикой Wi ( jω); m – количество звеньев; arg – функция аргумента (для типовых звеньев может быть рассчитана через вещественную Pi (ω) и мнимую Qi (ω) частотные характеристики по формуле:

arg[Wi ( jω)]= arctg Qi (ω) .

При построении асимптотической ПАЧХ следует руководствоваться следующим алгоритмом:

- рассчитывается коэффициент передачи на частоте ω = 1 по выражениюG0 = 20 lg(Kp );

- рассчитываются частоты сопряжения ЛАЧХ звеньев

ωi = lg , где Ti – постоянная времени i-го звена;

- асимптотическая ЛАЧХ САУ строится по асимптотическим ЛАЧХ ее звеньев, причем следует помнить, что ЛАЧХ пропорционального звена имеет нулевой наклон во всем диапазоне частот, ЛАЧХ интегрирующего звена - наклон -20 дБ/дек во всем диапазоне частот, ЛАЧХ инерционного звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон -20 дБ/дек после этой частоты, ЛАЧХ форсирующего звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон +20 дБ/дек после этой частоты, ЛАЧХ колебательного звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон - 40 дБ/дек после этой частоты.

Ниже приведены расчетные соотношения для ЛФЧХ некоторых типовых звеньев:

ϕ(ω) = 0 – для пропорционального звена;

ϕ(ω) = − π – для интегрирующего звена;

ϕ(ω) = −arctg(ωT ) – для инерционного звена; ϕ(ω) = arctg(ωτ) – для форсирующего звена;

2ξωT

−arctg

при

ω≤

−ω T

–

для

ϕ(ω) =

2ξωT

−arctg

−π

при

ω>

−ω T

колебательного звена.

Проиллюстрируем действие описанного алгоритма для рассматриваемого задания. Рассчитаем значение коэффициента передачи на нулевой частоте

G0 = 20 lg(Kp )= 20 lg(7,336) ≈17,3 дБ.

	Рассчитаем частоты сопряжения:
			1
ω1						дек – для колебательного звена;

	= lg T			= 0,523 ≈ 0,5
			1
			1
ω2					=1 дек – для форсирующего звена;

	= lg
			τ2
ω3		1			=0,301 ≈ 0,3	дек – для инерционного звена.

	=lg T
			3

Для заданного варианта расчетная формула для ЛФЧХ будет иметь вид:

	2ξωT		+ arctg(ωτ		)− arctg(ωT	) при
− arctg	1			2
− arctg	2	2
	2	2			3
	1 − ω T1
	2ξωT
	2ξωT		− π + arctg(ωτ2 )−
ϕ(ω) = − arctg	1
ϕ(ω) = − arctg	1 − ω2T	2
	1 − ω2T	2
	1

− arctg(ωT )						при
	3

ω ≤ 1 ,

ω > 1 .

На рис. 4.2а построена асимптотическая ЛАЧХ для заданной САУ. Она имеет нулевой наклон до частоты сопряжения

ω3 , соответствующей инерционному звену. Инерционное звено «включается» и ЛАЧХ приобретает наклон –20 дБ/дек. Этот наклон сохраняется до частоты сопряжения ω1 . Далее «срабаты-

вает» колебательное звено, и суммарный наклон ЛАЧХ становится равным –60 дБ/дек, который сохраняется до частоты со-

пряжения ω2 , соответствующей форсирующему звену. Оно снижает наклон ЛАЧХ до –40 дБ/дек и этот наклон остается неизменным при дальнейшем увеличении частоты. Частота ωcp ,

при которой ЛАЧХ пересекает ось lg(ω) (т.е. коэффициент передачи САУ становится равным единице), называется частотой среза и характеризует запас устойчивости САУ по фазе Δϕ.

На рис. 4.2б показана ЛФЧХ САУ, рассчитанная по приведенному выше выражению. Легко видеть, что начальный фазовый сдвиг составляет около –50°. Это обусловлено одновременным «действием» колебательного и инерционного звеньев. Затем фаза возрастает (по абсолютной величине) и на частоте

переворота фазы ωπ , определяющей запас устойчивости САУ

по амплитуде, становится равной –180°. После «включения» форсирующего звена фаза начинает уменьшаться (по абсолютной величине) и асимптотически стремится к значению –180°. Отрезок ϕ ≈16 °, образованный ЛФЧХ и линией, соответст-

вующей –180°, на частоте среза является запасом устойчивости САУ по фазе.

4.6. Расчет статических характеристик САУ

Регулировочная и внешняя статические характеристики САУ получается из передаточных функций путем замены в них оператора p на нуль. Таким образом, их уравнения будут иметь

вид:

y(g)\|	= g Wзg (0) = g	k k	2	k	3	= g	Kp koc
		1	2		3			– для регулиро-
		1+ Kp					1+ Kp	– для регулиро-
f =0

вочной характеристики;

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке !

#
11.05.2015551.94 Кб17GERMANICVS.doc
#
11.05.2015174.08 Кб19Клёсов.doc
#
11.05.2015515.98 Кб33ТАУ_руков.по лаб..pdf