Сведения о некоторых показателях классов режима работы нелинейных элементов

Класс		Форма тока	о	1
A	180º	i Imax Im1 I0 0	0,5	0,5
AB	90º – 120º	i Imax I0 0	0 0,4	0.5 1 0,52
B	90º	i Imax 0		0,5
C	60º – 80º	i 0		 0,5

Метод кратного аргумента. Метод кратного аргумента или метод кратных дуг применим для определения частот и величин спектральных составляющих тока через нелинейный элемент как при малых, так и при больших воздействиях, важно лишь, чтобы величина воздействия не выходила за рамки интервала полиномиальной аппроксимации (см. иллюстрацию на рисунке 18.6). Воздействие при этом может быть любым: как односигнальным, так и многосигнальным (т.е. представлять собой сумму гармонических колебаний разных частот). Процедура спектрального анализа очень проста по своей сути, однако в случае высокого порядка аппроксимирующего полинома (n  2, 3) и числе одновременных воздействий, начиная с двух, трех, определение частот и амплитуд спектральных составляющих становится достаточно трудоемким занятием.

Поясним суть описываемого метода. Она заключается в том, что в выражение аппроксимирующего полинома подставляется аналитическая запись воздействия, содержащая гармонические функции, при этом слагаемые полинома, являющиеся степенями гармонических функций, расписываются по формулам кратных аргументов, затем выполняется группировка слагаемых одинаковых частот, которые и определяют амплитуды гармонических составляющих негармонического тока через нелинейный элемент.

ВАХ нелинейного элемента на заданном интервале можно аппроксимировать либо путем интерполяционного приближения, делая привязку полинома к кривой в ряде точек и определяя при этом коэффициенты ряда из решения системы линейных уравнений, либо осуществляя разложение кривой в ряд Тейлора в окрестности заданной рабочей точки U₀ и определяя при этом коэффициенты ряда как производные n-го порядка в данной точке (18.8). Рассмотрим несколько конкретных случаев.

1. Пусть ВАХ некоторого нелинейного элемента аппроксимирована на заданном интервале стандартным полиномом (18.3) степени n, коэффициенты которого определены путем решения системы из n + 1 уравнений (18.4): i = a₀ + a₁ u + a₂ u² + ... + a_n u ⁿ .

В простейшем случае одночастотного воздействия гармонический сигнал приложен относительно рабочей точки U₀ , поэтому

u = U₀ + U_m cos  t .

Подставим это воздействие в выражение полинома

i = i₀ + a₁ (U₀ + U_m cos  t) + a₂ (U₀ + U_m cos  t ) ² +

+ a₃ (U₀ + U_m cos  t )³ + ...+ a_n (U₀ + U_m cos  t ) ⁿ ,

выполним возведение в степень (в этом примере ограничимся четвертой степенью полинома включительно) и, представив степени (cos  t) ⁿ через известные формулы кратных аргументов:

cos ²  t = ,

cos ³  t = ,

cos ⁴  t = + ,

cos ⁵  t = +,

............................................................................... ,

сгруппируем слагаемые с одинаковыми частотами, приведя выражение к виду

i = I₀ + I_m1 cos  t + I_m2 cos 2  t + I_m3 cos 3  t + I_m4 cos 4  t ,

где I₀, I_m1, I_m2, I_m3, I_m4 – постоянная составляющая и амплитуды гармонических составляющих тока через нелинейный элемент, соответственно равные

I_o = i₀ + a₁ U₀ + a₂ U₀² + + + +

+ 3 a₄ U₀² U_m² + + a₄ U₀⁴ + .... ,

где i₀ = i (U₀ ) – величина постоянного тока в рабочей точке U₀ ,

I_m1 = a₁ U_m + 2 a₂ U₀ U_m + 3 a₃ U₀² U_m + + 3 a₄ U₀ U_m³ +

+ 4 a₄ U₀³ U_m + .... ,

I_m2 = + + 3 a₄ U₀ U_m³ + ,

I_m3 = + a₄ U₀  U_m³ + .... ,

I_m4 = + ... .

Изучая приведенный выше спектральный состав тока нелинейного элемента можно заметить, что характер и величина спектральных составляющих существенно зависят от смещения U₀ . Так например, в отсутствии смещения U₀ = 0 величины четных гармоник зависят только от слагаемых четных степеней аппроксимирующего полинома, а нечетные гармоники – от слагаемых нечетных степеней. Однако при наличии постоянного смещения U₀ каждое слагаемое аппроксимирующего полинома k-ой степени приводит к появлению всех кратных гармоник до k-ой включительно.

Приведенный пример наглядно показывает механизм описываемого метода спектрального анализа. По своей сути он очень прост, но требует выполнения большой кропотливой и рутинной работы, объем которой резко возрастает при повышении степени аппроксимирующего полинома и особенно при увеличении количества слагаемых воздействия.

2. Положив в выражении (18.7) u – U₀ = U_m cos  t ,

т.е. считая, что аппроксимирующий полином представлен рядом Тейлора в окрестности рабочей точки U₀ и используя тригонометрические формулы кратных аргументов, выполним спектральный анализ тока через нелинейный элемент. Результаты анализа сведены в таблицу 18.7.

Таблица 18.7