Данные расчета спектральных составляющих методами трех и пяти ординат

Амплитуды спектральных составляющих, мA	I0	I1	I2	I3	I4
Метод трех ординат	3,287	3,625	0,587	-	-
Метод пяти ординат	3,292	3,75	0,587	– 0,125	– 0,0042

Метод угла отсечки.Как уже было сказано ранее, метод угла отсечки, или метод, предложенный академиком А.И. Бергом и названный его именем, удобен для расчета спектральных составляющих тока через нелинейный элемент в случае «большого» гармонического воздействия. На рисунке 18.13, в общих чертах повторяющем рисунок 18.5, приведена исчерпывающая иллюстрация преобразования большого гармонического сигнала с амплитудой U_m , приложенного к нелинейному элементу относительно рабочей точки U₀, расположенной левее напряжения отсечки ВАХ данного нелинейного элемента U₀'.

Как видно из рисунка, ток через нелинейный элемент протекает только в течение части положительного полупериода входного напряжения (на рисунке эта часть входного напряжения затенена). При этом импульсы тока достигают высоты I_mах, равной, как следует из построения,

I_mах = ( U_m– U₀' ) S .

А.И. Бергом введено понятие угла отсечки  , под которым понимают половину времени, выраженную в «электрических» градусах, в течение которого ток протекает через нелинейный элемент. На рисунке 18.13 показаны «косинусоидальные» импульсы тока (затенены); их основание, отсчитанное вдоль оси  t , имеющей размерность радиан или градус, равно 2. Из определения и поясняющего рисунка ясно, что угол отсечки  заключен в пределах 0  180.

При этом, в крайних случаях, при  = 0 ток через нелинейный элемент отсутствует; при  = 180 ток протекает в течение всего периода воздействия, т.е. отсечки не происходит. Если «отсекается» половина воздействия (это будет в случае U₀ = U₀' ), ток протекает в течение половины периода гармонического входного напряжения. Угол отсечки  в этом случае равен 90. Такой режим работы нелинейного элемента, как было сказано ранее, носит название режима класса «В». В приведенном на рисунке 18.13 построении угол отсечки меньше 90, т.е. в данном случае нелинейный элемент работает в режиме класса «С».

Для мгновенного значения тока через нелинейный элемент при 0  t  , используя обозначения, принятые на рисунке 18.13, можно записать

i (t) = S (U_m cos  t – U₀' + U₀ ). (18.22)

Если в этом выражении положить  t = 0 , то можно связать величину импульса тока I_mах с параметрами ВАХ нелинейного элемента S и U₀' , смещением рабочей точки U₀ и амплитудой воздействия U_m:

i (t) = I_mах = S (U_m – U₀' + U₀ ), (18.23)

при  t =  мгновенное значение тока равно нулю

i (t) = 0 = S ( U_m cos – U₀' + U₀ ),

откуда следует

cos  = .(18.24)

На основании (18.23) с учетом (18.24) получаем другое выражение для I_mах:

I_mах = S U_m (1 – cos ), (18.25)

а затем, подставив его в (18.22), получим следующее выражение для мгновенного значения тока на интервале –   t  в пределах периода воздействия

i(t) = S U_m (cos  t – cos  ) = (cos  t – cos  ). (18.26)

График периодической последовательности этих «косинусных» импульсов тока показан на рис. 18.14.

При выбранном на рисунке 18.14 начале отсчета функция i (t) является четной относительно t, поэтому разложение в ряд Фурье для нее содержит постоянную составляющую и «косинусоидальные» слагаемые:

i (t) = I₀ + I_m1 cos  t + I_m2 cos 2 t + ... + I_mn cos n t.

Определим коэффициенты ряда Фурье – постоянную составляющую I_о и амплитуды гармоник I_mn , причем сразу пронормируем их по I_max и назовем коэффициентами гармоник или коэффициентами Берга ₀ и _n :

₀ ====

= ,(18.27)

_n = = =

= =

= .(18.28)

Неопределенность, возникающая в выражении (18.28) при n = 1 для коэффициента первой гармоники ₁ , раскрывается к выражению:

₁ = = . (18.29)

Как следует из выражений (18.27, 18.28, 18.29), коэффициенты постоянной составляющей₀ и гармоник _n периодического тока через нелинейный элемент являются функциями единственного аргумента – угла отсечки . Введем еще один коэффициент, показывающий отношение величин первой гармоники I_m1 и постоянной составляющей I₀ в зависимости от угла отсечки 

η = == , (18.30)

который оказывает существенное влияние на выбор режима работы нелинейного элемента при усилении колебаний, умножении частоты и на ряд других нелинейных преобразований сигналов. Графики значений коэффициентов ₀ , _1, ₂ , ₃ и η приведены на рис. 18.15.

Расчет спектра тока через нелинейный элемент по методике А.И. Берга чрезвычайно прост:

1) выполняется кусочно-ломаная аппроксимация ВАХ нелинейного элемента, по которой определяется напряжение отсечки U₀', выбирается напряжение смещения U₀ и задается амплитуда гармонического воздействия U_m , вызывающая необходимую величину импульса тока I_max.По формуле (18.24) определяется угол отсечки  ;

2) по графикам рисунка 18.15 определяются коэффициенты гармоник ₀ ,₁ ,₂ , .. _n;

3. рассчитывается спектральный состав тока:

I₀ = ₀ I_max ,

I_m1 = ₁ I_max ,

I_m2 = ₂ I_max , (18.31)

......................,

I_mn = _n I_max ,

На рисунке 18.16 в качестве иллюстрации изображены спектры токов для значений углов отсечки , равных 60, 90 и 120 градусов. Амплитуда импульсов тока принята за условную единицу (I_max = 1).

Полезно найти зависимость средней крутизны S_ср от угла отсечки . Записав в соответствии с определением

S_ср = =

иподставив сюда выражения (18.25) и (18.29), получим

S_ср = S = _s S . (18.32)

Здесь коэффициент

_s = =(18.33)

определяет соотношение средней крутизны и крутизны линейного участка ВАХ нелинейного элемента. Он зависит только от угла отсечки  . На рисунке 18.17 показана зависимость _s от угла отсечки  .

При = 180^о (т.е. в режиме класса «А» ) средняя крутизна S_ср совпадает с крутизной S. В режиме класса «В» ( = 90^о) средняя крутизна равна половине максимальной. При дальнейшем уменьшении угла отсечки средняя крутизна падает и в пределе при  0, S_ср также стремится к нулю.

Существует эмпирическая формула, которая подтверждается поведением кривых на рис. 18.15, в соответствии с которой максимальное содержание n гармоники в импульсе тока I_max имеет место при угле отсечки (его в этом случае приято называть оптимальным):

_опт = 120^о / n . (18.34)

Подведем итоги обсуждения режимов работы нелинейного элемента с точки зрения взаимосвязи между положением рабочей точки на ВАХ нелинейного элемента и величиной воздействия, определяющими класс режима работы, а также укажем особенности спектрального состава тока (часто для этого достаточно знания коэффициентов Берга ₀ и ₁ ), сопроводив эти сведения для наглядности временными диаграммами тока. Характерными с этой точки зрения являются режимы работы нелинейного элемента классов А, АВ, В и С с соответствующими им углами отсечки 180, 90–120, 90 и 60–80 электрических градусов. Названные сведения приведены в таблице 18.6.

Таблица 18.6