18.3. Спектральный анализ в нелинейной цепи

Выбор метода спектрального анализа. Трем способам представления ВАХ соответствуют три метода спектрального анализа, широко распространенные в практике инженерных расчетов (таблица 18.4).

Выбор одного из трех методов для определения спектральных составляющих зависит от содержания решаемой задачи. Первые два метода используются только в случае односигнального гармонического воздействия.

Таблица 18.4

Выбор метода спектрального анализа

Представление ВАХ (величина воздействия)	Метод спектрального анализа
Графическое представление ВАХ (любая величина воздействия)	Методы трех и пяти ординат (графоаналитический способ)
Кусочно-ломаная аппроксимация ВАХ (большое воздействие)	Метод академика А.И. Берга (метод угла отсечки)
Аппроксимация ВАХ степенным полиномом (любая величина воздействия)	Метод кратного аргумента (метод кратных дуг)

Если задача спектрального анализа позволяет ограничиться нахождением первых двух или четырех гармоник тока, для их расчета можно применить графоаналитический способ, не требующий выполнения предварительной аппроксимации ВАХ аналитическим выражением. Разумеется, точность определения гармонических составляющих этим способом невысока и зависит, прежде всего, от тщательности графических представлений.

В случае большого гармонического воздействия, когда наилучшим способом представления является кусочно-линейное, выбор метода для расчета спектральных составляющих тока однозначен - это метод, разработанный в 1932 году академиком А.И. Бергом для расчета ламповых генераторов и позволяющий очень просто и точно определять спектральный состав тока.

Для определения спектральных составляющих тока при любом воздействии – одно-, двух- и многочастотном, мгновенное значение которого не выходит за границы интервала полиномиальной аппроксимации ВАХ, используют прямую подстановку воздействия в выражение аппроксимирующего полинома. Этот метод, наиболее удобный при гар­монических компонентах воздействия, известен под названием метода кратных аргументов.

Методы трех и пяти ординат.Пусть к нелинейному элементу, ВАХ которого изображена на рисунке 18.12, приложено относительно некоторой рабочей точкиU₀ гармоническое воздействие u (t) с амплитудой U_m . Мгновенные значения тока через нелинейный элемент, соответствующие фазам воздействия 0, 60, 90, 120 и 180 градусов обозначены i_max, i₁, i₀, i₂ и i_min. Данные наборы фаз и ординат позволяют вычислить амплитуды спектральных составляющих негармонического тока через нелинейный элемент:

i (t) = I₀ + I_m1 cos  t + I_m2 cos 2 t +... + I_mn cos n t. (18.19)

При этом возможны два варианта, описанные ниже.

Если использован набор трех ординат i_max , i₀ , i_min , соответствующий трем фазам воздействия 0, 90 и 180 градусов, то решение получающейся системы из трех уравнений:

1) при  t = 0 i = i_max = I₀ + I_m1 + I_m2 ,

2) при  t = 90 i = i₀ = I₀ – I_m2 ,

3) при  t = 180 i = i_min = I₀ – I_m1 + I_m2

дает формулы для определения величин спектральных составляющих тока:

I₀ = ,

I_m1 = , (18.20)

I_m2 = ,

которые называют формулами «метода трех ординат».

Использование полного набора ординат i_max , i₁ , i₀ , i₂ и i_min , соответствующих фазам воздействия 0, 60, 90, 120 и 180 градусов, позволяет составить пять алгебраических уравнений:

1) при  t = 0 i = i_max = I₀ + I_m1 + I_m2 + I_m3 + I_m4 ,

2) при  t = 60 i = i₁ = I₀ + I_m1 – I_m2 – I_m3 – I_m4 ,

3) при  t = 90 i = i₀ = I₀ – I_m2 + I_m4 ,

4) при  t = 120 i = i₂ = I₀ – I_m1 – I_m2 + I_m3 – I₄ ,

5) при  t = 180 i = i_min = I₀ – I_m1 + I_m2 – I_m3 + I_m4 ,

решение которых дает спектр тока вплоть до четвертой гармоники включительно:

I₀ = ,

I_m1 = ,

I_m2 = , (18.21)

I_m3 = ,

I_m4 =.

Эти формулы принято называть формулами «метода пяти ординат».

В качестве иллюстрации в таблице 18.5 приведены данные численного расчета амплитуд спектральных составляющих методами трех и пяти ординат для ВАХ, представленной графиком на рисунке 18.6 при амплитуде гармонического воздействия 2,5 В относительно рабочей точки U₀ = – 2,5 В.

Таблица 18.5