Вах полевого транзистора

u, В	0	–0,5	–1,0	–1,5	–2,0	–2,5	–3,0	–3,5	–4,0	–4,5	–5,0	–6,0
i, мА	7,5	6,5	5,5	4,5	3,6	2,7	2,0	1,4	0,75	0,4	0,25	0,1

ГрафикВАХ, построенный по таблице, приведен на рисунке 18.6. Если выбрать интервал аппроксимации

0  u  – 5,0 В

и сделать привязку полинома к ВАХ в трех следующих точках:

1) u₁ = 0 В, i₁ = 7,5 мА;

2) u₂ = – 2,5 В, i₂ = 2,7 мА;

3) u₃ = – 5,0 В, i₃ = 0,25 мА,

то, решая систему из трех получившихся уравнений:

1) i = 7,5 = а₀ ,

2) i =2,7=а₀ – 2,5 а₁+ 6,25 а₂ ,

3) i =0,25 =а₀ – 5 а₁+25 а₂ ,

находим коэффициенты аппроксимирующего полинома

а₀ = 7,5 мА, а₁ = 2,39 мА/В, а₂ = 0,188 мА/В²

и, собственно, полином второй степени:

i = 7,5 + 2,39 u + 0,188 u², мА. (18.5)

При дальнейшем использовании этого аналитического представления ВАХ необходимо помнить, что оно справедливо только для выбранного интервала аппроксимации, в нашем случае от u = 0 до u = – 5 В.

Рабочий участок ВАХ, определяемый величиной воздействия, всегда должен находиться внутри интервала аппроксимации. Иными словами, это значит, что любое мгновенное значение воздействия не имеет права выходить за рамки интервала аппроксимации.

В нижней части рис. 18.6 сделана иллюстрация выполнения этого условия: относительно рабочей точки U₀ = – 2 В действуют два гармонических колебания – низкочастотное с амплитудой 0,5 В и высокочастотное с амплитудой 1,5 В, при этом в любой момент времени величина воздействия не выходит за рамки интервала аппроксимации (на рисунке заштрихованы).

Относительные ошибки приближения при использовании выражения (18.5) на интервале аппроксимации сведены для иллюстрации в таблицу 18.3.

Таблица 18.3

Относительные ошибки приближения

Точки ВАХ	u, B	0	–1,0	–2,0	–2,5	–3,0	–3,5	–4,0	–4,5	–5,0
Относит. ошибка	%	0	+3,6	+3,5	0	–1,1	–2,7	–24	–38	0

Как видно из таблицы 18.3, точность аппроксимации имеет приемлемое для практики значение с одной стороны ВАХ и резко ухудшается с другой, что объясняется малыми абсолютными значениями тока в этой области ВАХ.

При желании или необходимости можно повысить точность приближения, увеличивая количество точек привязки на интервале аппроксимации, однако это влечет за собой повышение степени полинома и ведет к прогрессивному усложнению процедуры дальнейшего математического анализа.

Продолжая рассматриваемый пример, приведем полином пятой степени при прежнем интервале аппроксимации для той же ВАХ полевого транзистора, коэффициенты которого рассчитаны из условия привязки в шести точках u = 0, –1, –2, –3, –4, –5, В ;

i = 7,5 + 1,8458 u – 0,327 u² – 0,2167 u³ – 0,0479 u⁴ – 0,0042 u⁵ , мА . (18.6)

Читателю предоставляется возможность сравнить относительную точность представления ВАХ полиномом пятой степени по отношению к полиному второй степени.

Другим способом степенной аппроксима­ции является пред­ставлениеВАХ рядом Тейлора относительно выбранной рабочей точки U₀ . При этом рабочий участок ВАХ предполагается симмет­ричным относительно рабочей точки U₀, по­скольку в практике ана­лиза нелинейных уст­ройств преимущест­венным видом воздей­ствия является гармо­ническое (рис. 18.7).

Разложение ВАХ в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки U_о имеет вид

i = a₀ + a₁ ( u – U₀) + a₂ ( u – U₀) ² + ... + a_n ( u – U₀) ⁿ, (18.7)

где коэффициенты a_n являются производными порядка «n» в данной точке ВАХ:

a_n =  _РТ (18.8)

и могут быть определены графическим путем или аналитически, если в наличии имеется любое другое аппроксимирующее выражение, например, (18.5) или (18.6).

В качестве примера ниже приведен ряд Тейлора для ВАХ, заданной таблицей 18.2, записанный для окрестностей рабочей точки U₀ = – 2,5 В. Коэффициенты ряда определены по формуле (18.8). За аппроксимирующий полином принято выражение (18.5), полученное ранее для той же ВАХ путем интерполяционного приближения. В выражении ряда Тейлора

i = 2,7 + 1,45 ( u + U₀ ) + 0,188 ( u + U₀ ) ² , (мA) (18.9)

переменная «u» заключена в пределах – 5 В ... 0 В и является абсциссой графика ВАХ (рисунок 18.7). При замене переменных в выражении (18.9)

u_s = u + U₀ (18.10)

ряд Тейлора приобретает вид

i = 2,7 + 1,45 u_s + 0,188 u_s², (мA), (18.11)

где переменная «u_s» может изменяться в пределах ± 2,5 В, причем начало ее отсчета привязано теперь к рабочей точке U₀ = – 2,5 В, как показано на рисунке 18.7.

Для полноты сопоставлений приведем ряд Тейлора пятой степени для той же ВАХ. Коэффициенты ряда определены в прежней рабочей точке U₀ = – 2,5 В на основе степенного ряда (18.6):

i = 2,7 + 1,5986 u_s + 0,1531 u_s² + 0,0019 u_s³ +

+ 0,0042 u_s⁴ – 0,0042 u_s⁵ , ( мА ) . (18.12)

Впрактике обычно удается уйти от необходимости использовать аппроксимирующие полиномы высоких степеней. Это уменьшает трудоемкость расчетов при сохранении требуемой точности. В зависимости от видаВАХ, расположения на ней рабочей точки и величины сигнала можно выделить несколько частных случаев использования « усеченного» аппроксимирующего полинома.

На рисун­ках 18.8-18.11 на условных ВАХ отмечены положения ра­бочих точек и сделана графиче­ская иллюстра­ция особенностей режимов работы нелинейного элемента (статического и динамического). При этом вертикальными штриховыми линиями обозначены рабочие интервалы ВАХ. Ниже приведены соответствующие этим частным случаям усеченные ап­проксимирующие полиномы.

1. Статический режим работы (рис. 18.8). Рабочая точка РТ на ВАХ однозначно определяется приложенным напряжением U₀ .

Ток через не­линейный элемент равен I₀ и, следовательно,

i = a₀ = I₀ . (18.13)

2. Линейный режим работы нелинейного элемента (рис. 18.9).

В этом случае в пределах рабочего участка ВАХ аппроксимирующий полином содержит только линейное слагаемое

i = a₀ + a₁ u = I₀ + S u. (18.14)

Крутизна характеристики S определяется как первая производная ВАХ в рабочей точке U₀ (18.8). Линейный режим имеет место не только в случае, когда рабочая точка выбрана в центре линейного участка ВАХ (кстати, в этом случае можно допустить наибольшую величину сигнала), но и в любой другой точке ВАХ при условии «малой» величины сигнала, когда его размах не выходит за пределы линейного участка.

3. Довольно часто в практике встречается случай, когда нелинейный элемент работает в режиме малого сигнала и при этом рабочая точка U₀ расположена в начале ВАХ, у нижнего ее сгиба. Рабочий интервал ВАХ симметричен относительно рабочей точки (рисунок 18.10).

Примерами могут служить« малосигнальные» режимы работы модулятора, преобразователя частоты, амплитудного детектора и другие. Принято говорить, что такие устройства работают в «квадратичном» режиме. Удовлетворительную аппроксимацию в этом случае дает полином второй степени

i = a₀ + a₁ u + a₂ u ². (18.15)

Коэффициенты а₀ , а₁, а₂ полинома можно определить с помощью уже описанного выше способа интерполяционного приближения, привя­завшись к ВАХ в трех точках интервала аппроксимации, например:

u = U₁, u = U₀ , u = U₂ .

Те же коэффициенты для аппроксимирующего ряда Тейлора несложно найти, либо определяя их по формуле (18.8) в выбранной рабочей точке на основе, например, полинома (18.15), либо путем решения простых алгебраических уравнений, составляемых на основе канонического ряда Тейлора (18.7) для ряда выбранных точек на ВАХ. Придерживаясь принятых на рисунке 18.10 обозначений, имеем в точке u = U₀ , ( учитывая, что u_s = u – U₀ = 0 ):

i = a₀ = I₀, a₁ = S,

где S – крутизна ВАХ в рабочей точке U_о определяется графически;

в точке u = U₁ , ( u_s = U₁ – U₀ ):

i = 0 = I₀ + S (U₁ – U₀) + а₂ (U₁ – U₀) ² , а₂ = – [ I₀ + S (U₁ – U₀)] / (U₁ – U₀).

4. Рабочая точка расположена в центре симметричной ВАХ, воздействие выходит за пределы линейного участка (рис. 18.11).

Математически в данном случае рабочая точка U₀ является точкой перегиба ВАХ. В точке перегиба кривой все производные четного порядка равны нулю. Поэтому коэффициенты при четных степенях в выражении (18.7) обращаются в нуль и его можно записать, сделав замену переменных (18.10) u_s = u – U₀ , в форме

i = a₀ + a₁ u_s + a₃ u_s³ + a₅ u_s⁵ + ... (18.16)

Для упрощения последующего анализа можно ограничиться полиномом третьей степени (усеченным полиномом третьей степени):

i = a₀ + a₁ u_s + a₃ u_s³ . (18.17)

Соответствующая этой аппроксимации кривая показана на рис. 18.11 штриховой линией. Напряжение U_m , соответствующее экстремумам аппроксимирующей функции и отсчитываемое от рабочей точки U₀ , иногда называют напряжением насыщения. Задание этого напряжения, а также коэффициента a₁ ( крутизны S в рабочей точке U₀) однозначно определяют коэффициент a₃ в выражении (18.17). Действительно, в точке

u = U₀ + U_m ,

т.е. при амплитуде сигнала, равной U_m , производная от ВАХ обращается в нуль, поэтому, в соответствии с (18.17),

a₁ + 3  a₃ U_m² = 0 ,

откуда

a₃ = – S / 3 U_m² . (18.18)

Аппроксимирующей функцией (18.17) допустимо пользоваться, пока амплитуда воздействия не превышает величины U_m .