18.2. Аппроксимация вольтамперных характеристик нелинейных резистивных элементов

Выбор способа аппроксимации. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов задаются в виде таблиц или кривых (графиков, построенных по таблицам). ВАХ известны либо из справочной литературы, либо поставляются вместе с прибором заводом-изготовителем, либо снимаются экспериментально. Для выполнения расчетов устройств, содержащих нелинейные элементы, часто требуется представление ВАХ в виде аналитического выражения. Процедура отыскания этого аналитического выражения по таблице или кривой ВАХ носит название аппроксимация.

Прежде всего следует отметить, что процедура аппроксимации является творческим процессом и требует безусловной компетенции автора в данном вопросе. ВАХ одного и того же нелинейного элемента может быть аппроксимирована несколькими разными способами в зависимости от положения рабочей точки на ВАХ, величины воздействия и требуемой точности аппроксимации, удобства использования аппроксимирующего выражения и прочего.

Ясно, что аналитическое представление ВАХ, заданных в виде таблиц или графиков, возможно только приближенно. Как правило, чем выше требования к точности аппроксимации, тем сложнее получается нужное аналитическое выражение ВАХ и тем труднее выполнять последующий спектральный анализ. Точность представления зависит от интервала аппроксимации. Чем шире этот интервал, тем меньше точность при одинаковом аппроксимирующем выражении. Поэтому предварительно следует оценить границы интервала аппроксимации в пределах ожидаемого изменения переменных. Не имеет смысла стремиться к точности аппроксимации, превышающей пределы разброса и нестабильности ВАХ, а также точности их снятия.

Очень важным является вопрос о выборе способа аппроксимации, связанный с выбором аппроксимирующей функции. В качестве аппроксимирующих принимают различные функции: кусочно-линейные, степенные полиномы, некоторые трансцендентные функции.

При использовании трансцендентных функций на выбор той или иной аппроксимирующей функции влияет вид конкретной ВАХ. Например, прямая ветвь ВАХ полупроводникового диода хорошо передается простейшим экспоненциальным полиномом:

i = A [ exp (a u) – 1 ] , (18.1)

который соответствует физическим процессам в p-n-переходе. Из других трансцендентных функций чаще находят применение гиперболические синус и тангенс, однако во всех случаях очень затруднено определение коэффициентов аппроксимирующих функций. Кроме того, несмотря на компактность этих аппроксимирующих функций, затруднена их математическая обработка. В силу этих недостатков использование для аппроксимации трансцендентных функций широко не распространено.

Определяющим моментом в выборе способа аппроксимации является величина воздействия, которая при фиксированном положении рабочей точки задает необходимый интервал аппроксимации данной ВАХ (рабочий интервал ВАХ). Здесь надо вспомнить понятия «малого» и «большого» сигналов, которые были введены ранее. В общем случае величина сигнала может принимать и «промежуточное» значение между этими величинами. В таблице 18.1 приведены наиболее общие рекомендации по выбору способа аппроксимации в зависимости от величины сигнала.

Таблица 18.1

Выбор способа аппроксимации в зависимости от величины сигнала

Способ аппроксимации	Величина сигнала
Кусочно-линейная	Большой сигнал
Степенным полиномом	Любой сигнал на интервале аппроксимации
Трансцендентными функциями	Любой сигнал на интервале аппроксимации

Не останавливаясь далее на аппроксимации с использованием трансцендентных функций, приведем краткую характеристику двух первых способов аппроксимации, названных в таблице 18.1.

Кусочно-линейная аппроксимация. В случае, когда величина воздействия превосходит протяженность ВАХ не­линейного элемента (режим «большого сигнала»), некоторыми малосущественными деталями ВАХ можно пренебречь на фоне этого большого сигнала и заменить ее плавную кривую несколькими прямолинейными отрезками, уравнения каждого из которых не выше первого порядка. В качестве иллюстрации приведем пример кусочно-линейной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента (электронная лампа, полупроводниковый диод, транзистор) при большом гармоническом воздействии, приложенном относительно рабочей точки U₀ (рис. 18.5). В практике такая аппроксимация полезна при расчете резонансного усилителя мощности, автогенератора, амплитудного модулятора, амплитудного детектора и других аналоговых электронных устройств.

Как видно из рисунка, реальная ВАХ заменена набором из трех прямых, уравнения которых очевидны:

i = 0 при u < U₀',

i = S  u при U₀'  u  U_н , (18.2)

i = I_н при u  U_н ,

где U₀' – напряжение отсечки,

U_н, I_н – напряжение и ток насыщения,

S = I_н / (U_н – U'₀) – крутизна линейной части ВАХ

являются параметрами аппроксимированной таким образом ВАХ данного нелинейного элемента и могут быть определены графически.

Поскольку в данном случае ток через нелинейный элемент будет протекать, когда напряжение u превышает некоторое, так называемое напряжение отсечки U'₀ (заштрихованная часть воздействия на рисунке 18.5), говорят, что нелинейный элемент работает в режиме отсечки тока.

Аппроксимация степенным полиномом. Этот способ аппроксимации является универсальным, хотя и достаточно трудоемким. Он применяется для описания определенного участка ВАХ с помощью стандартного степенного полинома, когда величина воздействия не столь велика, как в случае, если бы нелинейный элемент работал в режиме отсечки тока.

Алгебраический полином степени «n»

i = a₀ + a₁  u + a₂  u² + ... + a_n  u ⁿ (18.3)

имеет n + 1 коэффициентов. Эти коэффициенты должны быть определены из условия приближения, которое состоит в том, чтобы ошибка, равная отклонению полинома от подлежащей аппроксимации кривой ВАХ, не превышала некоторой заданной величины. Предельно допустимая ошибка должна задаваться с учетом требования к точности, предъявляемой к расчету, а также точности снятия, возможного разброса и нестабильности ВАХ.

В теории приближения функций существуют различные критерии определения ошибок и соответственно различные методы нахождения коэффициентов искомого полинома из условия минимизации ошибки. Ниже описываются методики интерполяционого приближения и разложение ВАХ в ряд Тейлора относительно выбранной рабочей точки, положенные в основу описываемого способа аппроксимации степенным полиномом.

При интерполяционном приближении искомые коэффициенты определяют из условия совпадения аппроксимирующего полинома и аппроксимируемой ВАХ в заранее выбранных n + 1 различных точках интервала аппроксимации. Условие совпадения значений обеих функций в n + 1 точках дает систему n + 1 линейных уравнений, необходимых для однозначного определения всех искомых коэффициентов полинома:

i = a₀ + a₁ u + a₂ u² + ... + a_n u ⁿ = i ( u_k ), ( k = 1, 2, ..., n + 1). (4)

Следовательно, число точек привязки к кривой ВАХ на интервале аппроксимации равно числу коэффициентов полинома (n + 1) и однозначно определяется его степенью n.

В качестве примера выполним аппроксимацию ВАХ полевого транзистора, заданной таблицей 18.2.

Таблица 18.2