7.3. Метод коррекции ошибок для получения целочисленного вейвлет-преобразования

В данном разделе рассмотрим другой метод целочисленного вейвлет-преобразования. Он основан на так называемом преобразовании, предложенном А.Саидом и В.Перельманом. Конструирование биортогональных вейвлетов при помощи лифтинговой схемы может рассматриваться как частный случай метода коррекции.

Предположим, имеется некоторое простое целочисленное вейвлет-преобразование, например рассмотренное в примерах 1-3. Декомпозиция и реконструкция запишется в общем случае следующим образом:

Декомпозиция:

(7.36)

реконструкция:

. (7.37)

В общем случае вышеприведенная декомпозиция может не дать хорошего результата. Например, возможно появление эффектов наложения спектра (элайзинга) либо преобразование не приведет к локализации энергии в низкочастотной субполосе. Поэтому нужна определенная коррекция высокочастотных либо низкочастотных коэффициентов. Существует несколько путей ее реализации. Однако с учетом требования целочисленной реализации необходимо использовать метод коррекции.

Например, выполним коррекцию высокочастотных коэффициентов:

(7.38)

где есть коэффициент коррекции для:

(7.39)

здесь и- варьируемые параметры, выбираемые для достижения требуемых характеристик преобразования. Разработаны методы нахождения этих параметров, которые не будут рассматриваться в данной книге. Скажем только, что они должны быть рациональными числами, кратными степени 2, для обеспечения целочисленности преобразования. Из (7.36), (7.38)-(7.39) видно, что алгоритм декомпозиции, обеспечивающий полное восстановление после реконструкции (7.37), представим в виде:

. (7.40)

К

8 Зак.105

ак отмечалось выше, лифтинговая схема есть частный случай метода коррекции. Примеры 3-5 могут также рассматриваться как реализации этого метода. Рассмотрим теперь пример, в котором не используется лифтинговая схема и который не имеет отношения к биортогональным фильтрам с компактной областью определения.

Пример 6. преобразование.

Данное преобразование аналогично использованию следующих фильтров анализа:

, .

При этом фильтры синтеза не имеют компактной области определения. Тем не менее преобразование может быть выполнено следующим образом:

1. Выполним декомпозицию, как в примере 1 (формулы (7.1)-(7.3)). При этом вместо используем.

2. Шаг коррекции. Определим:

и вычислим:

(7.41)

Реконструкция выполняется следующим образом:

(7.42)

Далее вычисляется

(7.43)

и

. (7.44)

Таким образом, мы рассмотрели некоторые возможные алгоритмы получения целочисленных вейвлет-коэффициентов. Данная область исследования является перспективной и привлекает внимание многих исследователей.

120