Также предполагается, что

, (9.22)

, (9.23)

и что симметрична:

. (9.24)

Большинство реальных изображений удовлетворяют условиям (9.21)-(9.24). При выполнении этих условий справедлива следующая теорема.

Теорема 1.Предположим, чтоудовлетворяет (9.21)-(9.24). Пусть, то

, (9.25)

где

(9.26)

и

. (9.27)

Для практического применения данной теоремы формулы могут быть упрощены за счет пренебрежения коэффициентом . Так как вторая производная (9.21) мала, наклон

(9.28)

изменяется медленно, как функция от . В диапазоне сжатия изображений его можно считать постоянным:. Из (9.26) и (9.27) следует, чтоитакже постоянны. Как уже было отмечено, в этом случае. Следовательно,вычисляется в (9.25) путем масштабирования и умножения нелинейной ошибки аппроксимациина постоянные множители:

. (9.29)

Так как , из (9.28) следует, чтои.

Получившаяся зависимость скорости от искажения значительно отличается от известной формулы для гипотезы квантования с высоким разрешением, где .

Искажение D в (9.29) существенно зависит от ошибки аппроксимации сигналаf M векторами (), выбранными в базисе G. Для оптимального кодирования с преобразованием базис G должен точно аппроксимировать каждый из сигналов f малым числом базисных векторов. Если рассматривать f как реализацию случайного вектора Y, желательно было бы найти базис, минимизирующий по всем реализациям. Из теории известно, что оптимальным для аппроксимации сигналаY с использованием M векторов является базис Карунена-Лоэва, но в данном случае это свойство оптимальности теряется, так как число векторов меняется в зависимости от реализации. В некоторых случаях известно, как найти базис, который минимизирует максимальную ошибку для целого класса сигналов. Например, базис вейвлетов является оптимальным в этом минимаксном смысле для кусочно-регулярных сигналов, которые описываются пространствами Бесова.

9.2.2. Оптимальный относительный размер интервала квантования

Для оптимизации квантования необходимо выбрать размер интервала возле нуля относительно других интервалов квантования. Для минимизации искаженияD необходимо найти , такое что для фиксированной

. (9.30)

Можно показать, что справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Предположим, что удовлетворяет условиям (9.21)-(9.24) и что- постоянная, не зависящая отM. Пусть . Если, то оптимальное отношение

. (9.31)

9.2.3. Практическая проверка точности аналитических выражений

Известно, что вейвлет-базис эффективно аппроксимирует кусочно-регулярные функции малым числом ненулевых коэффициентов. Так как изображения часто имеют кусочно-регулярные структуры, вейвлет-преобразование с успехом применяется в вейвлет-кодеках изображения. Основным положением теоремы 1 является то, что сортированные коэффициенты разложения сигналаf в базис G имеют рациональный спад.

Известна модель изображения, основанная на пространствах Бесова. Пусть . Если существуетитакие, что для всехвейвлет-коэффициентf ранга k ограничен , тоf относится к семейству пространств Бесова, чьи индексы зависят от . Рассмотрим кусочно-регулярное изображениеf, которое является регулярным внутри регионов , делящих. Это изображение имеет неоднородности вдоль границ, которые имеют конечную длину. Можно доказать, что сортированные вейвлет-коэффициенты убывают как , с. Эта модель применима к достаточно низкочастотным изображениям (типа всем известного изображенияLENA), тогда как неоднородности высокочастотных изображений приводят к изменению экспоненты . Для изображенийпоэтому возможна нормировкаи сравнение убыванияспри увеличенииz в диапазоне . Условие (9.21) предполагает медленное изменение, как функции от.

Можно выполнить практическую проверку точности аналитической формулы, даваемой теоремой 1. Для проверки используется вейвлет-кодек с равномерным квантователем, интервал возле нуля которого вдвое больше остальных интервалов, то есть. Это является стандартным выбором для большинства вейвлет-кодеков изображения. Карта значений сжимается кодером длин серий. Отношениебыло вычислено для кодирования тестового изображенияLENA. На рис.9.1 это значение сравнивается с теоретической оценкой (9.26) без учета коэффициента :. Наклонв (9.28) вычисляется из сортированных вейвлет-коэффициентов. Как видно из рис.9.1,K точно аппроксимирует истинное значение для. Возрастание ошибки аппроксимации приобъясняется невыполнением гипотезы.

На рис.9.2 показано значение , вычисленное из энтропии квантованных вейвлет-коэффициентов. Теоретическая оценка (9.27) также показана на рисунке. Кривые близки друг к другу, что подтверждает точность вычислений.

Для упрощения вычисления зависимости скорости от искажения наклон аппроксимируется константой, что соответствует кусочно-регулярной модели изображения. Хотя наклон отличен от единицы для высокочастотных изображений, эта аппроксимация оказывается достаточно точной в силу малой чувствительностиK и к флюктуациям. Так как,и. На рис.9.3 показано, которое было вычислено для различных тестовых изображений. Дляотношениеможет быть аппроксимировано константой. ИскажениеD, вычисляемое в (9.25), приблизительно равно

. (9.32)

Отметим, что дает весьма точную оценку, несмотря на то, что наклон.

Теорема 2 дает аналитическое выражение для , минимизирующегоD. Прии. Таким образом, теоретически доказывается правильность выбора исследователями параметра.

Итак, при кодировании с низкими скоростями функция скорость-искажение для вейвлет-кодеков может быть вычислена путем отделения коэффициентов, квантуемых в нуль, от других. Полученная функция скорость-искажение зависит, прежде всего, от точности нелинейной аппроксимации изображения малым числом базисных коэффициентов. Для вейвлет-базиса при убывает как, где экспонентаимеет порядок 1.

Т

10 Зак.105

аким образом, полученные выражения значительно отличаются от известных из теории информации. Это объясняется тем, что при достаточно сильном сжатии интервалы квантования становятся большими, и не выполняется предположение о квантовании с высоким разрешением.

146