Линейная алгебра - билеты 2-го семестра

Линейная алгебра (2 семестр 2001/02 года)

1. Линейные пространства.

Определение линейного пространства и его свойства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Связь базиса с размерностью линейного пространства. Преобразование базиса и координат. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства и лин. оболочки. Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Теоремы о ранге произведения двух матриц.

2. Системы линейных уравнений.

Критерий совместности ситсемы линейных уравнений. Однородная система уравнений и ФСР. Неоднородная система уравнений.

3. Евклидово и унитарное пространство.

Понятие евклидова и унитарного пространства. Длина и угол в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Свойства ортогональных и унитарных матриц. Изоморфизм. Разложение евклидова пространства на прямую сумму взаимно ортогональных подпространств. Линейный функционал.

4. Линейные операторы.

Линейный оператор и его матрица. Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в Rn и квадратными матрицами. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса. Линейное пространство линейных операторов. Произведение операторов. Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Сопряженный и симметричный (самосопряженный) операторы и их свойства. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов симметричного оператора. Ортогональный оператор и его свойства. Сопряженный, эрмитов и унитарный операторы в унитарном пространстве и их свойства.

5. Билинейные и квадратичные формы. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Ранг квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при преобразовании переменных. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка. Знакоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Билинейная форма. Приведение симметричной билинейной формы к каноническому виду. Способы введения скалярного произведения в конечномерных линейных пространствах. Теория инвариантов уравнения второй степени. Классификация. Выражения канонических коэффициентов через инварианты. Уравнения центральных кривых второго порядка.

6. Элементы теории групп.

Понятие группы. Понятие числового поля. Примеры групп и числовых полей. Преобразование Лоренца.

7. Элементы теории тензоров.

Понятие тензора. Примеры. Операции над тензорами.

Конец формы