3.7. Графическое представление конечных автоматов

Определение. Пусть М = (Q,   q₀, F) – недетерминированный конечный автомат. Диаграммой  переходов (графом переходов) автомата М называется неупорядоченный помеченный граф, вершины которого помечены именами состояний и в котором есть дуга (р, q), если существует такой символ а, что q (р, а). Кроме того, дуга (р,q) помечается списком, состоящим из таких а, что q (р, а). Изобразим автоматы из предыдущих примеров в виде графов (рис. 3.2 и 3.3)

Рис. 3.2. Пример детерминированного графа

Для дальнейшего анализа нам потребуется определение детерминированного автомата.

Определение.

Пусть М = (Q,   q₀, F) – недетерминированный конечный автомат. Назовём автомат М детерминированным, если множество (q, а) содержит не более одного состояния для любых qQ и а. Если (q,а) всегда содержит точно одно состояние, то автомат М назовём полностью определённым.

Рис. 3.3. Пример недетерминированного графа

Таким образом, наш пример – полностью определённый детерминированный конечный автомат, и в дальнейшем под конечным автоматом мы будем подразумевать полностью определённый конечный автомат.

Одним из важнейших результатов теории конечных автоматов является тот факт, что класс языков, определяемых недетерминированными конечными автоматами, совпадает с классом языков, определяемых детерминированными конечными автоматами.

Теорема.

Если L=L(M) для некоторого недетерминированного конечного автомата, то L=L(M') для некоторого конечного автомата М'.

Пусть М = (Q,   q₀, F). Построим автомат М' = (Q',  ' q₀', F') следующим образом:

1. Q' = P(Q), т.е. состояниями автомата М' является множество состояний автомата М;

2. q₀'={q₀};

3. F' состоит из всех таких подмножеств S множества Q, что SF;

4. (S, а) = S' для всех SQ, где S'={p | (q, а) содержит р для некоторого qS}.

Пример.

Построим конечный автомат М' = (Q,{1, 2, 3},', {q₀}, F), допускающий язык L(M).

Так как М имеет 5 состояний, то в общем случае М' должен иметь 32 состояния. Однако, не все они достижимы из начального состояния. Состояние р называется достижимым, если существует такая цепочка w, что (q₀, w)⊢^∗(р, е), где q₀ - начальное состояние. Мы будем строить только достижимые состояния (табл. 3.3).

Таблица 3.3 - Достижимые состояния автомата

Состояние	Вход
	1	2	3
А = {q0}	В	С	D
В = {q0, q1}	Е	F	G
С = {q0, q2}	F	H	I
D = {q0, q3}	G	I	J
E = {q0, q1, qf}	E	F	G
F = {q0, q1, q2}	K	K	L
G = {q0, q1, q3}	M	L	M
Н = {q0, q2, qf}	F	H	I
I = {q0, q2, q3}	L	N	N
J = {q0, q3, qf}	G	I	J
К = {q0, q1, q2, qf}	К	К	L
L= {q0, q1, q2,q3}	Р	Р	Р
М = {q0, q1, q3, qf}	М	L	М
N = {q0, q2, q3, qf}	L	N	N
Р = {q0, q1,q2, q3, qf}	Р	Р	Р

Начнём с замечания, что состояние {q₀} достижимо. ' ({q₀}, а) = {q₀, q_а} для а = 1, 2, 3. Рассмотрим состояние {q₀, q₁}. Имеем ' ({q₀, q₁},1) = {q₀, q₁, q_f}. Продолжая, по данной схеме, получаем, что множество состояний автомата М (М) достижимо тогда и только тогда, когда

1. оно содержит q₀ и

2. если оно содержит q_f, то содержит также и q₁, q₂ или q₃.

Начальным состоянием автомата М является А, а множество заключительных состояний - {Е, Н, J, К, М, N, Р}.