77. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях. Задача о рюкзаке. Задача коммивояжера.
Метод ветвей и границ В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений
на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда — наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.
Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд — оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.
Задача о назначениях – это распределительная задача, в которой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), а каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе. То есть ресурсы не делимы между работами, а работы не делимы между ресурсами.
Исходные параметры модели задачи о назначениях
1.n – количество ресурсов, m – количество работ.
2.ai = 1 – единичное количество ресурса Ai (i =1,n), например: один работник; одно транспортное средство; одна научная тема и т.д.
3.bj = 1 – единичное количество работы Bj (j =1,m), например: одна должность; один маршрут; одна лаборатория.
4. cij – характеристика качества выполнения работы Bj с помощью ресурса Аi. Например, компетентность i-го работника при работе на j-й должности; время, за которое i-е транспортное средство перевезет груз по j-му маршруту; степень квалификации i-й лаборатории при работе над j- й научной темой.
Задача о ранце (рюкзаке) — название получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов, способных поместиться в рюкзак, ограничен. В общем виде задачу можно сформулировать так: из заданного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.
Постановка задачи коммивояжера
Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по одному разу в неизвестном порядке города 2,3,4..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?