4.3.2. Регулируемая монополия

Две модели производства

Модель 1. Производство общественного продукта

В рассматриваемом производстве общественного продукта выделяется два объекта: собственно общественный продукт, потребляемый всеми агентами, и деньги, являющиеся личной собственностью каждого агента. Затраты на производство единиц общественного продукта составляютединиц денег. Функцияне убывает, и.

Имеется агентов. Вначале запас агентасоставляетединиц денег, и никакого общественного продукта не производится . Конечное распределение соответствует некоторымвкладам денег (например, агент внесденег) и производствуединиц общественного продукта. Здесь . Предпочтения агентаописываются функцией полезности

Модель 2. Производство продукта личного пользования

В рассматриваемом производстве продукта личного пользования выделяются два объекта: труд и продукт, который производится с использованием некоторого количества труда. Производство единиц личного продукта требует единиц труда. Имеется агентов. Сначала агентимеетсвободного времени, а. При конечном распределении у него остается свободного времении он потребляетединиц личного продукта. Его предпочтения описываются функцией полезности. При этом

Заметим, что в модели с общественным продуктом агенты могут свободно обмениваться деньгами. В допустимом распределении затрат на производство общественного продукта может быть(агентполучает платеж в размере) или(его доля затрат превышает начальный запас). В противоположность этому в модели с продуктом личного пользованиязатраты нетрансферабельны между агентами. Агент не может остаться с большим количеством свободного времени, чем у него было вначале, он не может позаимствовать свободное время у кого-то другого.

Какие распределения являются оптимальными по Парето? Предполагая дифференцируемость функции полезности, можно получить необходимые условия оптимальности по Парето в модели производства общественного продукта: где — частная производнаяпо общественномупродукту, а— частная производнаяпо личному продукту

В модели производства продукта личного пользования рассмотрим внутренние распределения . Для оп-тимальности по Парето такого распределения необходимо выполнение следующих условий:

Ядро в задаче производства общественного продукта

Предположим, что все агенты совместно владеют технологией производства. Это означает, что любая коалиция может распо-ряжаться технологией по своему усмотрению, т. е. производить любое количество продукта при условии, что полностью покрыты расходы.

Характеристическая функция коалиции здесь определяется через нахождение максимума прибыли при условии ее неотрицательности. Так, в случае квазилинейных полезностей, которые описываются уравнением где— денежный эквивалентединиц общественного продукта, х.ф. коалиции будет описана следующим образом:

.

Таким образом, в квазилинейной модели с общественным продуктом оптимальность по Парето эквивалентна максимизации прибыли.

С-ядро игры определяется, как и раньше: распределение принадлежит ядру, если никакая коалиция не может отделиться и улучшить благосостояние своих членов. При этом должны выполняться следующие два условия: (иначе коалицияпредпочтет обойтись без агентаисэкономить денег и(иначе агентпредпочтет отделиться и не производить общественный продукт).

Пример 4.16. Модель производства общественного продукта

с квазилинейными предпочтениями

Технология производства имеет при всех вид. Есть два агента с квазилинейными предпочтениями(будем считать начальный запас денег нулевым), где

При определении характеристических функций коалиций необходимо учитывать, что предложенные функции прибыли коалиций строго вогнуты и их единственные максимумы находятся через первые производные. В результате получаем следующую характеристическую функцию игры:

Распределения из ядра произвольным образом делят кооперативную прибыль между двумя агентами.

При общие затраты составят

В одной крайней точке с-ядра вся кооперативная прибыль достается агенту , что приводит к следующим прибылями долям затрат:

.

В другой крайней точке вся кооперативная прибыль достается агенту со следующими прибылямии долями затрат:

Таким образом, с-ядро игры составит:

по прибыли ;

по затратам:

Ядро в задаче производства продукта личного пользования

Здесь рассматривается игра с нетрансферабельными выигрышами, а соответственно вместо дележей выступают вектора полезностей Допустимость вектора полезностей для коалицииопределяется в условиях следующих ограничений: для всех , где. Непустота ядра этой игры зависит от изменения доходов на масштаб рассматриваемой технологии.

Рассмотрим сначала случай производственной функции с постоянным доходом на масштаб (ПДМ): , где фиксированное число — цена одной единицы производимого личного продукта в часах труда. Каждый агент может использовать производственный процесс, никак не влияя на возможности других агентов. Здесь справедливый исход состоит в выборе наилучшего плана для каждого агента индивидуально. Это приводит к необходимости решитьдецентрализованных задач:

.

В случае ПДМ кооперация бессмысленна — каждый игрок независимо решает, какое именно количество продукта он хочет произвести, расходуя соответствующие ресурсы.

Следующий рассматриваемый вариант — производственная функция с уменьшающимся доходом на масштаб (УДМ): средние затраты увеличиваются поВ этом случае кооперация невыгодна, здесь игра даже не супераддитивна: если каждый агент имеет индивидуальный свободный доступ к технологии, то у них нет побудительных мотивов к кооперации.

В случае технологии производства при возрастающем доходе на масштаб (ВДМ) средние затраты уменьшаются по. Это приводит к естественной монополии: совместное использование данной технологии дает положительное взаимное влияние, и ядро игры непусто.

Пример 4.17. Задача производства

продукта личного пользования с ВДМ

Имеются два агента с функциями полезности и Функция затрат:.

Здесь рассматривается производственная функция с возрастающим доходом на масштаб (средние затраты уменьшаются по ): .

Построим игру, соответствующую данной задаче. Определим сначала характеристические функции одиночных коалиций (максимумы соответствующих функций находятся через первую производную):

, при

, при

Множество определяется из оптимальных по Парето распределений. Условия эффективности приводят здесь к равенствам

,

где .

Отсюда:

.

Принимая во внимание, что , получаем

.

Таким образом, для коалиции наиболее оптимальным является выпуск одной единицы продукции. Учитывая, чтои, получаем,.

Определим теперь с-ядро игры.

Если вся прибыль от кооперации достается второму агенту, то прибыль первого устанавливается равной его характеристической функции: , отсюдаУчитывая, что, получаем

Первая точка с-ядра:

Если вся прибыль от кооперации отдается первому агенту, второй получает минимальную прибыль: Отсюда

Вторая точка с-ядра: