4.2. Кооперативные игры

4.2.1. Общие понятия кооперативных игр

В теории кооперативных игр в отличие от теории благосостояния принято агентов называть игроками, а поведение игроков — стратегиями. Игрой называется математическая модель конф-ликтной ситуации:

где — множество стратегийi-го игрока;

—функция выигрыша i-го игрока;

—множество игроков.

Игровой смысл модели заключается в том, что функция выигрыша i-го игрока зависит не только от стратегии этого игрока, но и от стратегий всех остальных игроков:

Целью каждого игрока является максимизация собственного выигрыша (или минимизация проигрыша). В кооперативных играх игроки могут вступать в сговор между собой и образовывать коалиции. Любое подмножество S множества N называется коалицией. Коалиция может состоять из одного игрока или быть пустой. Множество всех возможных коалиций равно . Здесь стратегии выбираются игроками коалиции так, чтобы максимизировать общий доход. Основной вопрос заключается в том, как разделить общий доход между игроками.

Будем считать, что выигрыши являются трансферабельными: т. е. игроки могут передавать часть своих доходов другим игрокам (делать побочные платежи). В этом случае игра называется кооперативной игрой с трансферабельными выигрышами.

Величина, оценивающая возможности коалиции, называется характеристической функцией (х.ф.) коалиции. Х.ф. показывает максимальную величину выигрыша, которую коалиция может себе гарантировать независимо от действий всех остальных игроков. Х.ф. коалиции S обозначим v(S). Принято считать, что v(Ø) = 0, где Ø — пустая коалиция. Х.ф. является функцией, зависящей от множества как от аргумента. Если функция множества v обладает свойством

то говорят, что она супераддитивна. Другими словами, объединив свои усилия, две не имеющие общих членов коалиции смогут получить не меньше, чем оставаясь разделенными. Супераддитивность является определяющим условием образования боль-ших коалиций, в том числе и коалиции N.

Определение. Характеристической функцией кооперативной игры с трансферабельными выигрышами называется функция v, определенная на множестве ставящая в соответствиелюбой коалиции ее наибольший, уверенно получаемый

выигрыш в данной игре и обладающая свойствами:

.

Это общее определение х.ф. В зависимости от условий конкретной игры ее можно задать по-разному. Рассмотрим один из распространенных способов.

Пусть в игре образовалась коалиция . Совместноевзаимодействие игроков из коалиции S означает, что стратегиями этой коалиции являются всевозможные стратегии входящих в нее игроков, которые составляют множество их совместных чистых стратегий (т. е. чистых стратегий, которые игроки обязуются использовать совместно). Пусть — совместная чистая стратегия коалиции S. Целью коалиции S является достижение максимального выигрыша путем оптимального выбора собственной стратегии Выигрыш коалиции определяется как сумма выигрышей всех входящих в нее игроков:

.

Поскольку этот выигрыш зависит и от поведения других иг-роков из множества N\S, то при определении х.ф. коалиции S необходимо учитывать все возможные варианты поведения игроков. Наихудшим вариантом протекания игры для коалиции S будет ситуация, когда остальные игроки объединятся в одну общую коалицию N\S и будут играть против S. Тогда х.ф. коалиции можно определить следующим образом:

,

где — есть значение антагонистической игры, в которой функцией выигрыша первого игрока S, выступающего как максимизирующий игрок, является ; выигрышем второго игрокаN\S, выступающего как минимизирующий игрок, является .Если игра имеет решение в чистых стратегиях, ее значение определяется следующим образом¹:

Дальнейшее исследование игры связано только с ее х.ф., поэтому в последующем изложении материала не рассматриваются стратегии и функции выигрышей игроков. Основное внимание уделяется только характеристическим функциям коалиций и вопросам дележа прибыли.