|
Задачи о циклах |
G X ,U |
X n, U m |
Цикловое ребро |
|
|
|
|
|
|
Мост (перешеек) |
- существует простой |
|
|
|
|
|
|
- не существует |
цикл, содержащий это |
|
|
|
|
|
|
простого цикла, |
|
|||||||
|
|||||||
ребро |
|
|
|
|
|
|
содержащего это ребро |
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Лемма. При удалении из графа циклового ребра число компонент связности графа не меняется, при удалении моста – увеличивается на единицу.
1
Цикломатическое число и его свойства
G X ,U |
|
|
X |
|
n, |
|
U |
|
m |
||
|
|
|
|
|
|||||||
k m n |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При удалении из графа циклового ребра |
|||||||||||
|
|||||||||||
цикломатическое число уменьшается на единицу.
При удалении моста цикломатическое число |
|
|||||||
не меняется |
|
|
|
G X , U \ |
|
|||
|
|
|
u |
|||||
G X ,U |
|
|
|
|||||
|
G |
k |
|
|
|
|
||
|
|
m n |
||||||
1) u - цикловое ребро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k m 1 n G 1 |
|||||||
|
G k |
m n |
|
|
||||
2) u - мост |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 m 1 n G
Ц.ч. равно количеству независимых простых циклов
Цикломатическое число и его свойства
|
G 0, |
|
|
|||
2 |
причем |
k m n |
||||
|
G 0 |
в графе нет циклов |
||||
G X ,U |
|
|
- m ребер |
|
||
G X ,U |
|
|
- m-1 ребро |
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
G X ,U |
|
|
- m-2 ребра |
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Gm X ,Um |
|
- m-m ребер |
|
|||
G G1 Gm On 0Gm On n 0 n 0 3
Цикломатическое число и его свойства
|
|
k |
|
|
k |
|
3 |
G Gi |
G Gi |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Gi |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
компоненты связности графа |
G |
|
||||
|
k G |
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
G k G m G n G |
|
|||||
|
k |
|
k |
k |
|
|
k Gi m Gi n Gi |
||||||
|
i 1 |
|
i 1 |
i 1 |
k |
|
k |
k G |
m G |
n G |
G |
||
|
i |
i |
i |
|
i |
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
4 |
Фундаментальная система циклов
Сумма циклических маршрутов G X ,U и умножение циклического маршрута на число
Базис (ф.с.ц.) – максимальная линейно независимая система циклов
1) Занумеруем ребра и ориентируем их
2) Циклическому маршруту С сопоставим вектор |
||||||||||||
c |
c |
|
, c |
2 |
, , c |
m |
|
с |
s s |
|||
|
1 |
|
|
|
i |
i |
i |
i |
||||
si |
количество проходов по i ребру |
1, m |
|
|||||||||
si |
|
в положительном направлении |
|
|
|
|||||||
|
количество проходов по i ребру |
|
|
|
||||||||
|
|
в отрицательном направлении |
|
|
|
|||||||
3) Количество векторов в базисе |
k m n |
|||||||||||
равно цикломатическому числу |
|
|
5 |
|
||||||||
Эйлеровы цепи и циклы
Граф называется эйлеровым, если G X ,U в нем существует маршрут, проходящий через все ребра графа ровно по одному разу
Эйлеров цикл (замкнутый маршрут) Эйлерова цепь (незамкнутый)
Теорема Эйлера. В графе G существует эйлеров цикл (цепь) тогда и только тогда, когда
1) Граф связен
2) Количество вершин нечетной степени
равно нулю (двум)
6
Эйлеровы цепи и циклы
Н |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
1) |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
связен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
эйлеров |
|
|
|
|
|
|
2) Вершин нечетной степени 0 (2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
1) G связен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) Вершин нечетной степени 0 (2) |
|
|
|
эйлеров |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т (m) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ММИ по числу ребер графа G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
БИ |
|
|
|
|
|
|
Т (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m G l 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ИП |
|
|
|
|
Пусть верно Т (m) m : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что верно |
|
Т (m) для |
|
G : m G |
l |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть вершины a, b - нечетной степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
a,b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G X , U \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i 1
Эйлеровы цепи и циклы
Д |
|
|
1) G связен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) Вершин нечетной степени 0 (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эйлеров |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БИ |
|
|
|
Т (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m G l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ИП |
|
|
|
|
|
Т (m) m : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m G l G |
X , U \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G Gi |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
k Gi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gi i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m Gi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, k |
|
|
|
эйлеровы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда в G существует эйлерова цепь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a,b 1 |
a,b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
|
|
|
k |
a,b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
З |
Т (m) m N |
8 |
|
|
|
Эйлеровы цепи и циклы |
|
Построение эйлеровой цепи в связном графе |
|
Этап I. Разметка графа |
1) |
Найти вершины a и b нечетной степени |
2) |
Построить цепь (a , b); t:=1 |
3)Всем ребрам цепи (a , b) присвоить метку t
4)t:=t+1
5)Найти ребро u, смежное помеченному
6)Построить простой цикл Ct , содержаший ребро u
7)Всем ребрам цикла Сt присвоить метку t
8)Повторять п. 4-7, пока все ребра не станут
помеченными
Этап II. Построение цепи Выходим из вершины b и идем по ребру с
наибольшей меткой, вычеркивая пройденные, пока |
||
не придем в вершину |
a |
9 |
|
|
|