Мощность множества

Равномощные множества

X ~ Y

биекция f : X Y

Отношение

разбиение

на

равномощности

непересекающиеся

является

классы

отношением

равномощных

эквивалентности

множеств

Классы эквивалентности равномощных множеств

...

...

...

0

1

2

n

0

1

2

X

или card X

1

Х -конечное множество, если 1) Х – пустое

или

2)

биекция

f : X

1, 2, ..., n

Теорема 1

X R X

, X

,..., X

X

r

X

правило

1

2

r

i

суммы

i 1

Теорема 2

X X1 X2 ... Xr

r

Xi

правило

X

произведения

i 1

Теорема 3

X n B X

2n

конечного

о булеане

множества

2

Определение. Множество Х

X ~ N

называется счетным

X

0

Пример 1. Множество Z

счетно.

N {..., 6, 4,

2, 1, 3, 5, ... }

0,

k 1,

zk m,

k 2m 1,

m N

Z ~ N

m, k 2m,

Z 0

количества не более чем счетных

множеств не более чем счетно

6

Теорема

Множество точек интервала (0; 1)

Кантора

более чем счетно.

1

1

А~ N

1

0; 1

0 , т.к.

А

2 ,

3, ...

0;1 и

2

Покажем, что

0; 1

0

МОП

Пусть

0; 1

0

биекция

f

:(0;1)

N , т.е.

a1 0, 11 12 13 ... 0; 1

a , a

2

,

a

3

, ...

a2 0, 21 22 23 ...

1

Построим элемент

a3 0, 31

32

33 ...

b 0; 1

... ... ... ...

b 0, 1 2 3...

i ii i N

b ak k N

0; 1

7 0

несчетным

X ~ (0; 1)

X

X множество мощности континуум

X

c

(continuum - непрерывный)

0; 1 ~ (0; 1)

Примеры несчетных множнств

(0; )~ (0;1)

(существует

y e x )

биекция

( ; )~ (0;1)

(существует биекция

y

1

arctg x 0.5 )

8