Дискретная математика / ИДЗ 7_Комбинаторика

В А Р И А Н Т 1

1. В корзине лежат серые котята. У трех из них есть рыжие пятнышки, у четырех - белые. Трехцветный котенок только один. Сколько всего котят в корзине, если все они с пятнышками?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Шесть старушек вышли во двор поболтать. На скамейке по­мещаются только четыре из них. Сколькими способами их можно рассадить на скамейке?

3. На веревке сушатся четыре белых полотенца и три желтых. Сколькими способами их можно развесить, если полотенца одного цвета не отличаются друг от друга?

4. Из 20 человек, которые должны сдавать экзамен, 10 должны явиться к 9 утра, следующие 10 - к 11 утра. Сколькими способами староста может распределить студентов по группам, если 7 из них определенно хотят быть в первой группе, 5 - во второй, две по­дружки согласны быть в любой из групп, но только обязательно вместе?

В А Р И А Н Т 2

1. На обед в кафе можно взять одно из трех мясных блюд или одно из двух рыбных. Сколько всего способов пообедать, если де­нег хватает только на одну порцию?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся хотя бы три карты из пяти

одного и того же номинала?

3. После окончания школы бывшие десятиклассники устроили вечер, на котором к чаю предлагали торты: кофейный, фруктовый, шоколадный, ореховый и вафельный. Оказалось, что каждый отобрал себе разный набор кусочков тортов (разобрали все возможные набо­ры), а один выпускник пил чай без торта, т.к. ему врач запретил сладкое. Сколько всего было выпускников?

4. Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно образовать из букв слова "гипотенуза", равно числу всех возможных перестановок букв, составляющих слово "призма" .

В А Р И А Н Т 3

1. В избушку Бабы-Яги можно попасть по одной из пяти тропи­нок, а вернуться только по одной из двух. Сколько всего есть маршрутов для того, чтобы сходить к ней в гости?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся пять последовательно занумерованных карт?

3. Контролер проверяет восемь маршрутов автобусов, причем за час он проверяет не менее трех маршрутов из всех возможных, но не все восемь. Сколько может быть различных наборов проверен­ных за час маршрутов, если порядок проверки значения не имеет?

4. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова "перестановка"?

В А Р И А Н Т 4

1. На конюшне 3 лошади и 4 пони. Сколько возможностей выб­рать себе скакуна? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так. что среди них окажутся пять карт одной масти?

3. Имеются катушки с сопротивлением 1,3,5,10,20 Ом. Сколько цепей с различным сопротивлением можно получить, соединяя неко­торые из этих катушек последовательно?

4. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Сколь­ким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позыв­ные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? А если позывные состоят из четырех различных букв?

В А Р И А Н Т 5

1. На рынке продаются четыре щенка и шесть котят. Сколько всего возможностей выбрать себе четвероного друга?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся три карты одного номинала и две - другого?

3. Сколькими способами 20 человек можно рассадить в два ав­тобуса, если способы отличаются лишь количеством человек в каж­дом автобусе?

4. Сколько слов, состоящих из двух гласных и трех согласных можно составить из букв слова "пуговица"?

В А Р И А Н Т 6

1. У Ивана-царевича три коня, но пять седел. Сколько у него способов выбрать оседланного коня? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся пять последовательных карт одной масти?

3. Восемь туристов отправились в путь на двух лодках, в меньшей из которых могли поместиться не более четверых, а в большей - не более шестерых человек. Сколькими различными спосо­бами они могут распределиться в разные лодки? (Распределения считаются различными, если хотя бы один турист окажется в другой лодке).

4. Сколько слов, состоящих из двух гласных и двух согласных можно составить из букв слова "перила"?

В А Р И А Н Т 7

1. В пятнадцати комнатах общежития есть телевизоры, в трид­цати двух - радиоприемники; и то, и другое - в шести комнатах. Сколько комнат в общежитии, если в каждой - ТВ- или радиоприем­ник?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Сколькими способами можно составить расписание для сдачи четырех экзаменов (способы различаются порядком сдачи экзаменов)?

3. Тридцать шесть карт распределяются между собой четырьмя игроками по девять карт каждому. Сколько существует способов разделить карты?

4. Сколько чисел, больших 5000000, можно составить из цифр 7,5,4,4,3,3,1?

В А Р И А Н Т 8

1. У одной модницы было 15 платьев и 12 шляпок. Сколько у нее способов выбрать наряд - платье и шляпку?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Сколькими способами 8 человек можно рассадить на лавке (всех в один ряд)?

3. Тридцать карт распределяются между тремя игроками по 10 карт каждому. Сколько существует способов разделить карты?

4. Сколько чисел, больших 3000000, можно записать с помощью цифр 1,1,1,2,2,3,3 ?

В А Р И А Н Т 9

1. В городе Т три программы телевидения и три - радио. Сколько возможностей выбрать программу? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. На столе лежат 8 яблок. Сколькими способами можно выб­рать два из них?

3. Требуется покрасить шесть железных гаражей, на каждый из которых расходуется одна банка краски. Сколькими способами можно покрасить гаражи, если две банки красной краски, три - зеленой и одна - синей?

4. Из группы в 20 солдат каждую ночь выделяется наряд, со­стоящий из трех человек. Сколько ночей подряд командир может составлять наряд, отличный от всех предыдущих? Сколько раз при этом в наряд войдет солдат Чонкин?

В А Р И А Н Т 10

1. В буфете продаются три вида газ-воды и два - сока. Сколькими способами можно выпить один стакан?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся две карты из пяти одинако­вого, а остальные - разных номиналов?

3. В городе N автобусы ходят без кондукторов. Пассажиры пробивают талоны компостером. Сколько различных пробивок можно установить на компостере, если он пробивает отверстия не менее, чем на трех из девяти возможных мест, но не на всех девяти?

4. Сколько слов, состоящих из двух гласных и трех согласных можно образовать из букв слова "функция"?

В А Р И А Н Т 11

1. Из города Т в город К можно добраться автобусом с пе­ресадкой в городе М. Из Т в М - 3 рейса, затем из М в К - пять рейсов. Сколькими способами можно добраться из Т в К? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В сессию студент сдает пять экзаменов. Сколько возможных результатов сессии?

3. Сколькими способами 12 книг можно расставить по трем полкам, если на каждой полке могут поместиться все книги? Спосо­бы различаются лишь количеством книг на полках.

4. Пять мальчиков и пять девочек рассаживаются в ряд на десять подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на нечетные места, а девочки на четные. Сколькими способами их можно рассадить?

В А Р И А Н Т 12

1. Для изображения однотонного рисунка на экране можно использовать один из семи основных цветов или один из восьми цветов повышенной яркости. Сколько всего возможностей нарисовать рисунок?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В магазине продается восемь типов ручек. Сколькими спосо­бами студент может выбрать себе три ручки?

3. В библиотеке на полке стоят три одинаковых учебника по математике и четыре разных - по программированию. Сколькими способами их можно расставить на полке?

4. Десять кресел поставлены в ряд. Сколькими способами на них могут сесть два человека? Сколькими способами эти два человека могут сесть рядом? Сколькими способами они могут сесть так, чтобы между ними было по крайней мере одно пустое кресло?

В А Р И А Н Т 13

1. Для окраски фона можно использовать один из четырех цве­тов, для окраски текста - один из трех других цветов. Сколько способов написать цветной текст на цветном экране?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В библиотеку поступило девять новых книг. Сколькими способами читатель может выбрать три из них?

3. В елочной гирлянде восемь лампочек: две желтых, три красных, три синих. Сколькими способами их можно расположить в гирлянде?

4. В классе 30 одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них шестерых школьников ?

В А Р И А Н Т 14

1. В город N можно доехать на автобусе (3 рейса) и на поез­де (2 рейса). Сколько всего способов добраться до города N? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались две "двойки" ("двойка" - пара карт одного номинала), но не "тройки" и не "четверки"?

3. Сколькими различными способами можно разложить восемь монет различного достоинства в два кармана?

4. Сколько слов можно составить из букв слова "фрагмент", если а) слова должны состоять из трех букв; б) слова должны состо­ять из семи букв и начинаться с согласной?

В А Р И А Н Т 15

1. Пару лыж выбрать шестью способами, пару ботинок - тремя. Сколькими способами можно выбрать лыжи с ботинками?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара карт одного номинала?

3. Сколькими способами можно рассадить шесть кустов пионов на трех клумбах, если на каждой клумбе могут поместиться все шесть?

4. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв фамилии нашего ректора? Сколько таких слов начинаются и оканчиваются согласными, а в середине стоит гласная?

В А Р И А Н Т 16

1. Поехали как-то три брата приключений искать. А навстречу им - два Змея-Горыныча (тоже братья). Сколько у них способов составить одну пару для поединка?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Пятнадцать студентов пришли на занятия, но в аудитории оказалось толь 13 стульев. Сколькими способами они могут выбрать двоих, чтобы отправить их на поиски стульев?

3. Сколькими способами можно расставить семь катеров у двух причалов, если у каждого причала могут поместиться все семь? Способы различаются лишь количеством катеров у каждого причала.

4. Найти число способов, которыми можно выписать в ряд девять троек и шесть пятерок так, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом.

В а р и а н т 17

1. В вычислительном зале 18 компьютеpов, на котоpых установлен Паскаль или Си. На шести из них есть и Паскаль, и Си; на семи - только Паскаль. На скольких компьютеpах установлен только Си?

2. В колоде 32 каpты. Сколькими способами можно выбpать пять каpт так, чтобы тpи из них были одного номинала, а две дpугие - одной масти?

3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде четырех человек при условии, что они поедут в разных вагонах?

4. Сколько чисел, заключающихся между 1000 и 9999, содержат цифру 3?

В А Р И А Н Т 18

1. Все первоклассники пришли в школу с букетами. В шести из них были астры, в четырех - ромашки; в двух букетах были и те, и другие цветы. Сколько всего было букетов? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Семеро студентов пошли вместо лекции в кино. Но оказа­лось, что в кассе осталось только три билета. Сколькими способами студенты могут выбрать троих счастливчиков?

3. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода в 52 карты по 13 карт каждому. Сколько существует спосо­бов раздать карты?

4. Сколько существует пятизначных чисел? Сколько среди них таких, которые начинаются цифрой 2 и оканчиваются цифрой 4? Сколь­ко таких, что не содержат цифры 5?

В А Р И А Н Т 19

1. Во всех газетах, которые выписывает господин N, печата­ется программа радио или телевизионных передач. Пять газет печа­тают ТВ-программу, три - радиопрограмму. Две газеты печатают обе программы. Сколько всего газет вписывает господин N?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Семеро рыбаков отправились на остров на двух лодках. Ночью одна из лодок уплыла. Сколькими способами они могут отпра­вить троих в погоню за уплывшей лодкой?

3. На веревке сушатся три белых полотенца и одно голубое. Сколькими способами их можно развесить, если белые полотенца не отличаются друг от друга?

4.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,4,6, 7,8, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколь­ко среди этих цифр будет четных? Сколько нечетных?

В А Р И А Н Т 20

1. В группе 23 человека, каждый из них умеет кататься на коньках или на лыжах; 12 - умеют кататься на коньках, 18 - на лыжах. Сколько человек умеют кататься и на конь­ках, и на лыжах? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Из цифр от 1 до 9 составляют всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Каково максималь­ное число таких чисел?

3. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске двух белых и двух черных коней? Конь может стоять на любой клетке, а одноцветные фигуры неразличимы.

4. В группе 9 человек. Сколькими способами из них можно создать подгруппу для изучения испанского языка, если в подгруппу входит не менее двух человек?

В А Р И А Н Т 21

1. В группе училища культуpы 16 человек, каждый из них умеет петь или танцевать; 12 - умеют петь, 8 - танцевать. Сколько человек умеют и петь, и танцевать?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Из цифр от 1 до 9 составляют всевозможные шестизначные числа, не содержащие одинаковых цифр и такие, что четные и не­четные цифpы в записи числа чеpедуются. Каково максимальное количество таких чисел?

3. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске двух белых cлонов и двух черных коней? Фигуpа может стоять на любой клетке, а одноцветные фигуры неразличимы.

4. На окружности выбрано 10 точек. Сколько можно провести хорд с концами в этих точках? Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? Сколько выпуклых четырехугольников?

Вариант 22

1. Крыса бежит по лабиринту, который устроен так,что снача­ла она должна выбрать одну из двух дверей. За каждой из них ее ожидает по три двери, а за каждой из них по четыре двери. Пройдя какую-нибудь дверь, крыса не может вернуться через нее обратно. Сколькими различными путями крыса может пройти лабиринт от нача­ла до конца? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Студенту необходимо сдать четыре экзамена в течение 10 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?

3. Восемь человек должны расположиться в двух комнатах, в каждой из которых должно быть по крайней мере три человека. Сколькими способами это можно сделать?

4. Сколько слов можно составить из букв слова "флибустьер", если слова должны состоять а)из трех букв; б) из шести букв и оканчиваться буквой "ь"?

Вариант 23

1. Сколько всего лотерейных билетов с номерами, состоящими из шести различных цифр? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Из 12 разных книг четыре - в твердом переплете. Сколькими способами можно выбрать 5 книг так, что среди них будет ровно две в твердом переплете?

3. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить ящики по этажам?

4. Энциклопедия состоит из девяти томов. Сколькими способами их можно расставить на полке в беспорядке, т.е. так, чтобы тома не следовали один за другим в порядке их номеров?

В А Р И А Н Т 24

1. До главного коpпуса можно доехать одним маpшpутом тpамвая, четыpьмя маpшpутами автобуса и двумя маpшpутами тpоллейбуса. Сколько всего способов добpаться до главного коpпуса? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Pота состоит из тpех офицеpов, шести сеpжантов и 60 pядовых. Сколькими способами можно выделить из них отpяд, состоящий из одного офицеpа, двух сеpжантов и 20 pядовых?

3. Сколькими способами можно пеpеставить буквы слова "кофеваpка" так, чтобы гласные и согласные чеpедовались?

4. На собрании должны выступить пять докладчиков - А,В,С,Д,Е. Сколькими способами их можно разместить в списке докладчиков, если Е может выступать только после А.

Вариант 25

1. В одно и то же время в городе идут три театральных спек­такля и шесть фильмов. Сколькими способами можно выбрать развле­чение (купить 1 билет) ?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Из цифр 1,2,3,4,5 составляются пятизначные числа, не кратные пяти и не содержащие одинаковых цифр. Сколько существует таких чисел?

3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две пешки, коня, ферзя и короля одного цвета? Пешки неразличимы.

4. Компания из 20 человек разделяется на три группы, в первую входят 3 человека, во вторую - 5, в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 26

1. . Для окраски потолка можно использовать одну из трех типов краски, а для окраски стен – одну из четырех типов краски Сколько всего различных наборов из двух типов краски можно составить? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Из цифр двенадцатеричной системы {0,1,…,9, А,В} составляют всевозможные четырехзначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Каково максимальное число таких чисел?

3. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать пять карт так, чтобы среди них оказались три десятки и две «картинки»?

3. Сколькими различными способами можно распределить восемь наименований различного товара по трем продавцам?

Вариант 27

1. . Для окраски потолка можно использовать одну из трех типов краски, а для окраски стен – одну из четырех типов краски, годных только для стен. Сколько способов выбрать банку краски , если хотим покрасить что-то одно: потолок или стены? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. Из цифр двенадцатеричной системы {0,1,…,9, А,В} составляют всевозможные четырехзначные числа. Каково максимальное число таких чисел?

3. Сколькими различными способами можно разложить десять разных шариков на три кучки?

4. Сколько слов можно составить из букв слова "фильмотека", если а) слова должны состоять из четырех букв; б) слова должны состоять из семи букв и начинаться с согласной?

В А Р И А Н Т 28

1. В микрорайоне Заречном четыре сквера и три бульвара. Сколько возможностей выбрать место для прогулки? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. На полке стоят шесть чашек и четыре блюдца. Сколькими способами можно составить из них две чайные пары?

3. В киоске продаются календари со знаками Зодиака. Четыре девочки решили купить по одному календарю. Сколько различных наборов календарей может получиться?

4. Цифры числа 23858345 переставляют между собой. Сколько получится различных чисел, находящихся в промежутке от 40 до 60 миллионов?

В А Р И А Н Т 29

1. На полке стоят шесть чашек и четыре блюдца. Сколькими способами можно составить из них одну чайную пару?

Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В колоде 32 карты. Сколькими способами можно выбрать четыре карты так, что среди них окажутся две карты черной масти и две бубновые карты?

3. Каким количеством способов три Деда Мороза могут положить в свои мешки подарки для послушных детей (шесть игрушечных зайцев, три куклы, четыре паровозика) так, чтобы у каждого были все виды игрушек??

4. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова "гусеница"?

В А Р И А Н Т 30

1. На «Южной» останавливаются двенадцать автобусов и два троллейбуса. Сколько возможностей доехать до «Южной»? Какое правило (суммы, произведения, включения-исключения) используется при решении задачи?

2. В танцевальном кружке занимаются восемь юношей и двенадцать девушек. стоят шесть чашек и четыре блюдца. Сколькими способами можно составить из них две пары для танца?

3. В левой руке фокусника – обычная колода карт (36 листов), а в правом рукаве – четыре туза различных мастей. Сколько различных наборов из шести карт, среди которых обязательно есть хотя бы один туз, он может показать зрителям?

4. Сколько чисел, заключающихся между 10000 и 30000, содержат цифру 2?