Комбинаторика
Правило
суммы
Правило произве- дения
Основные правила комбинаторики
Если элемент a может быть выбран m способами, элемент b – другими k способами, то один из элементов a или b может быть выбран m + k способами.
Если элемент a может быть выбран m способами, а после этого элемент b выбран k способами, то пара элементов
(a , b) может быть выбрана m∙k способами.
Правило включения- исключения
Если свойством А обладает m элементов, |
||
a свойством |
В – k элементов, то |
|
свойством |
А |
или В обладает m + k - l |
элементов, где l – количество элементов, |
||
обладающих и свойством А, и свойством |
||
В. |
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1 |
Комбинаторика
Признаки
отбора
Порядок отбора важен
Порядок
отбора
безразличен
Типы выборок
Все элементы различны
Размещения
Anr
Сочетания
Сnr
Одинаковые могут быть
Размещения с повторениями
Anr
Сочетания с повторениями
Сnr
n – количество элементов во множестве Х |
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r - количество элементов в выборке |
2 |
Комбинаторика
Размещение с |
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Расчетные формулы |
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x , x |
2 |
,..., x |
r |
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, |
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упорядоченный набор |
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повторениями |
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среди элементов которого могут |
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быть одинаковые |
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Anr nr |
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количество размещений с повторениями |
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из n элементов по r |
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Размещение |
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упорядоченный набор |
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x1, x2 ,..., xr , |
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среди элементов которого нет |
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одинаковых |
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r |
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n! |
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количество размещений |
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An |
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n r ! |
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из n элементов по |
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r |
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n – количество элементов во множестве Х |
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r - количество элементов в выборке |
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Комбинаторика
Перестановка |
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Расчетные формулы |
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x , x |
2 |
,..., x |
n |
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упорядоченный набор |
1 |
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из всех элементов |
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множества Х, выбранных по |
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Pn n! |
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одному разу. |
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количество перестановок из n элементов |
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Перестановка |
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состава r1, r2 ,..., rk |
- упорядоченный |
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набор длины |
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n r1 |
r2 |
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... rk |
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с |
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в котором элемент |
xi Х |
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повторениями |
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встречается ri |
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раз |
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i 1, k |
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количество |
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Pn r1,r2 ,...,rk |
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n! |
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перестановок с |
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r1!r2!...,rk ! |
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повторениями из |
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n эл-тов состава |
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r ,r |
,..., r |
4 |
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k |
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Расчетные формулы |
x1, x2 |
,..., xr , |
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Сочетание |
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неупорядоченный набор |
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среди элементов которого нет |
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одинаковых |
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Сnr |
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n! |
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n r ! r! |
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количество сочетаний из n элементов по r
Сочетание с |
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неупорядоченный набор x1, x2 ,..., xr , |
|||||
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|||||||
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|
среди элементов которого могут быть |
||||||
повторениями |
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||||||
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одинаковые |
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количество |
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Сnr Сnr |
1 r |
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сочетаний с повторениями |
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||||||
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из n элементов по r |
5 |
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Биномиальные коэффициенты и их свойства
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Ньютона |
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Cnk ak bn k |
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Tk 1 Cnk akbn k |
бинома |
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(k+1) – ый член разложения |
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Биномиальные коэффициенты: |
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k |
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n! |
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(количество сочетаний |
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Сn |
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n |
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k ! k! |
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из n элементов по k) |
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Свойство
симметрии
Свойство
Паскаля
Cnk Cnn k
k |
k |
k 1 |
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Cn |
Cn 1 |
Cn 1 |
6 |
Биномиальные коэффициенты и их свойства
Свойство |
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n |
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n |
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Cnk 2n |
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a b n Cnk akbn k |
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суммы |
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Свойство |
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Cn0 C1n Cn2 Cn3 ... ( 1)n Cnn 0 |
разности |
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Свойство |
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n 2m |
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maxCnk |
Cnk* при k* |
n |
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||||
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||||||||||
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|||||||||||
максимума |
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2 |
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|||
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n 2m 1 |
max Cnk |
Cnk* Cnk* 1 |
||||||||
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||||||||||
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при k* |
n |
1 |
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2 |
7 |
|||||
Полиномиальная формула
a |
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a |
2 |
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... a |
k |
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n |
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P |
r , r ,...,r |
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ar1 ar2 |
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...ark |
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1 |
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4a3b 4a3c 4b3a 4b3c 4c3a 4c3b
12a2bc 12b2ac 12c2ab 6a2b2 6b2c2 6a2c2
8
Полиномиальная формула
a |
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a |
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