Подстановки
Х x1, x2 ,..., xn Биекция : X X
называется подстановкой на множестве Х
А 1, 2,..., n |
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2 |
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n |
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... k |
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k |
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Множество |
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Sn |
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n! |
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подстановок на А - |
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Композиция
подстановок
x x , |
x A |
x x
1
Подстановки
Задача о нестационарных элементах
Элемент x А называется стационарным элементом подстановки Sn, если x x
Задача. Сколько существует подстановокА 1, 2,..., nSn ,все элементы которых нестационарны?
Обозначим: |
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dn |
искомое количество подстановок |
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Х k |
множество подстановок, в которых |
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k-ый элемент стационарен |
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dn |
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Sn |
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X1 X 2 ... X n |
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Подстановки
Задача о нестационарных элементах (продолжение)
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X1 X 2 |
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... X n |
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По теореме включения-исключения |
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k |
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X X |
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... 1 n 1 |
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X |
k |
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i j |
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, количество слагаемых - |
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Х1 Х 2 |
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n |
2 ! , количество слагаемых - |
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3
Подстановки
Задача о нестационарных элементах |
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(продолжение) |
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X1 X 2 ... X n |
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n n 1 ! |
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Cn2 n |
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2 ! ... |
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k 1 |
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Подстановки
Задача о нестационарных элементах (продолжение)
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Подстановки |
А 1, 2,..., n |
Задача о циклах |
Пусть x1, x2 ,..., xk все нестационарные элементы подстановки Sn.Подстановка
называется циклом длины k, если
x1 x2 , x2 x3,..., xk 1 xk , xk x1
Обозначение: |
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Пример: |
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1 2 |
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4 |
5 |
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3 2 |
7 |
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5 |
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x1 x2 ... xk |
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- цикл длины 3, |
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2 4 |
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3 |
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- не является циклом , но |
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1 |
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6 7 |
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1 3 7 4 5 6 |
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Подстановки
Задача о циклах Теорема (о разложении подстановки на
непересекающиеся циклы). Любая подстановка e, Sn
может быть представлена в виде композиции непересекающихся циклов длины k>1, причем единственным образом
1 2 ... r
7
Подстановки
Задача о циклах |
||
Теорема (о разложении на непересекающиеся |
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циклы). Sn , e |
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1 2 ... r |
1) |
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Найдем в А наименьший нестационарный |
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элемент х1: |
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x1 x1, и x A x x1 x x |
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2) Определим наименьшее из возможных |
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значений k: |
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k x1 x1, 1 k n |
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Подстановка |
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1 x1 x1 ... k 1 x1 |
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- цикл длины k |
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3)Вычеркнем из А элементы подстановки 1
4)Будем повторять 1)-3), пока А не пусто 8
Подстановки
Задача о порядке подстановки Определение Порядок подстановки Sn
есть наименьшее натуральное р такое, что |
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p e |
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Пример: 12 23 31 |
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2 13 21 23 |
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3 11 22 33 |
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p 3 |
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Замечание. Порядок цикла длины k равен k.
9
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Подстановки |
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Задача о порядке подстановки |
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Определение Порядок подстановки |
Sn |
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есть наименьшее натуральное р такое, что |
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p e |
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Теорема. Порядок подстановки равен |
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наименьшему общему кратному |
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порядков циклов в ее разложении |
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на непересекающихся циклы. |
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1 2 ... r |
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и k i ki |
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i |
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1,r |
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p НОК k1, k2 |
,..., kr |
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10 |
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Подстановки |
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Задача о типе подстановки |
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Определение Тип подстановки |
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Sn есть |
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кортеж c1 ,c 2 |
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,...,cn , где сi |
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количество |
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длины i в разложении подстановки π на |
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непересекающиеся циклы. |
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Пример. |
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Подстановка |
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Тип |
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12 23 31 64 55 46 |
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1 2 3 4 6 |
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1, 1, 1, 0, 0, 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. Количество подстановок |
Sn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данного типа равно |
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n! |
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c1 ! 1c1 |
... ck !k ck ... cn!ncn |
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