1.2.6 Отношения порядка

Рассмотрим отношения G, L из 1.2.4, отношение Q из 1.2.2 и отношение включения V на множестве всех подмножеств целых чисел (B(Z) – булеан множества Z): B(Z) .

Таблица 1.4  Свойства отношений

Отношение	Р	АР	С	АС	НС	Т
G	–	+	–	–	+	+
L	+	–	–	+	–	+
Q	+	–	–	+	–	+
V	+	–	–	+	–	+

Мы видим, что по свойствам эти отношения разделились на два типа.

Определение. Отношение R на множестве Х, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, называется отношением порядка на множестве Х (обозначается « »).

Определение. Отношение R на множестве Х, обладающее свойствами антирефлексивности, несимметричности, транзитивности, называется отношением строгого порядка.

Таким образом, отношения L, Q, V являются отношениями порядка на соответствующих множествах, а отношение G – отношением строгого порядка.

1.2.7 Частично упорядоченные множества

Если на множестве X введено отношение порядка  , то получен новый объект ) – частично упорядоченное множество. Так, различные частично упорядоченные множества (N, ) и (N,  ) можно получить, рассматривая на множестве N натуральных чисел отношения сравнения «  » (–x меньше или равно y и делимости «  » ( x является делителем y). Слово «частично» используется потому, что не все элементы множества могут быть сравнимы между собой. Для частично упорядоченного множества (N, ) несравнимы элементы N и N, так как ни один из них не является делителем другого.

Если все элементы множества сравнимы между собой, мы имеем линейный порядок, например, (N,  ) – линейно упорядоченное множество.

1.2.8 Диаграммы Хассе

Для наглядного представления частично упорядоченного множества используют диаграмму Хассе – граф отношенияR без петель и транзитивно замыкающих дуг.

Пусть . Рассмотрим на множествеX отношения порядка «  « и «  «. Получим два частично упорядоченных множества (X,  ) и (X, ), различия которых наглядно отражают их диаграммы Хассе (рис.1.9).

Определение. Элемент называетсянаибольшим элементом частично упорядоченного множества ), если  w. Элемент называетсямаксимальным элементом частично упорядоченного множества ), если в множестве X нет элемента y такого, что u  y.

Элемент является наибольшим и одновременно максимальным для (X,  ) (рис. 1.9,а). В частично упорядоченном множестве (X,  ) есть два максимальных и, но нет наибольшего (рис. 1.9,б).

Аналогично определяются понятия наименьшего и минимального элементов частично упорядоченного множества.

Теорема. Всякое частично упорядоченное множество имеет не более одного наибольшего элемента.

Действительно: пусть имеется два различных наибольших элемента и. Тогда по определению наибольшего элементаw  и  w, откуда в силу антисимметричности отношения порядка «  » следует  противоречие, что и доказывает теорему.