Бинарные отношения
Декартово произведение множеств
X Y x, y |
|
x X , y Y |
|
||
|
|
|
a,b b, a . |
X Y Y X |
||
Соответствие f |
|
y - образ |
|
между множествами |
|
|
|
|
f : X Y |
||
X и Y есть |
f ( X ,Y ,F ), |
|
|
где |
F X Y |
|
x-прообраз |
|
|
|
|
Бинарные отношения
1) Отображение x X y Y : (x, y) F
2) Отображение на множество Y
f ( X ) Y
3) Функционально
x X ! y . Y : y f (x) Y
Биекция: 1), 2), 3), 4) f (x1) f (x2) x1 x2
x X ! y Y : y f (x); |
|
|
|
y Y !x X : x f 1( y). |
|
|
2 |
|
Бинарные отношения
Бинарное отношение R |
|
|||
R X X |
||||
на множестве Х |
||||
|
||||
Примеры |
|
X 1,2,3,4 |
|
|
P {(x, y) |
|
x, y X , x y 1} |
||
|
||||
|
|
|
|
|
Q (x, y) x, y X , x делится на y
Область
определения
Множество
значений
|
|
|
|
|
|
|
D {x |
|
|
(x, y) R} |
x, y R |
|
|
|
|
|||||
R |
|
|
|
|
y R x |
|
ER {y |
|
(x, y) R} |
|
|||
|
xRy |
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Бинарные отношения
Бинарное отношение R на множестве Х
R X X
Способы представления:
1)перечисление элементов
2)характеристическое свойство
3)график
4)схема
5)граф
6)матрица
X 1,2,3,4 |
P {(x, y) |
|
x, y X , x y |
} |
|
||||
|
|
|
1 |
P {(1,2), (2,3), (3,4)}
4
Бинарные отношения
Способы представления бинарного отношения
X 1,2,3,4 |
Q (x, y) |
|
x, y X , |
x делится на y |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
DQ |
EQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
4 |
Х |
|
|
|
а) |
б) |
|
График (а) и схема (б) отношения Q 5
Бинарные отношения
Способы представления бинарного отношения
X 1,2,3,4 |
Q (x, y) |
|
x, y X , |
x делится на y |
|
4
1 |
2 |
3 |
4 |
3
2 
1
1
2
3
4
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||||
1 |
1 |
0 |
0 |
||||
1 |
0 |
1 |
0 |
||||
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Граф и матрица отношения Q
6
Бинарные отношения
Свойства отношений R X X
Рефлексивность
x X x, x R
При каждой вершине графа - петля
Антирефлексивность
x X x, x R
На графе ни одной петли
7
Бинарные отношения
|
|
|
||||
Свойства отношений |
|
R X X |
||||
Симметричность |
|
|
|
|
|
|
x, y X x, y R y, x R |
|
|||||
Несимметричность |
|
|
|
|
||
x, y X x, y R y, x R |
|
|||||
Антисимметричность |
|
|
|
|
||
|
x, y R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
x, y X |
y, x R |
|
||||
|
|
|
|
|
8 |
|
Бинарные отношения
Свойства отношений
Транзитивность
R X X
|
x, y R |
|
|
|
|
|
|
x, y, z X |
y, z R |
x, z R |
|
|
|
|
|
Полнота |
|
|
|
x, y R |
|
|
|
|
x, y X x y |
|
|
|
y, x R |
|
9
Бинарные отношения
Задано бинарное отношение на Х:
Тождественное отношение
R X X
I a, a a X
Универсальное отношение
U a,b a X , b X
Дополнительное отношение
R a,b a,b R
Обратное отношение
R 1 a,b b, a R
10