Основные понятия теории графов
Леонард Эйлер, 1736 г.
Кирхгоф – электрические цепи Кэли – органические изомеры Гамильтон – головоломки
Д.Кениг , 1936 Теория ориентированных и неориентированных графов 1
Неориентированные графы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G X ,U |
|
|
|
|
|
|
X |
|
n, |
|
U |
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
U |
x, y |
|
|
x, y X ; x y |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
Х – множество вершин, U – множество ребер |
||||||||||||||||||
Вершины x и y смежные |
|
|
|
|
|
Ребра g и h смежные |
||||||||||||
- существует ребро, |
|
|
|
|
|
- существует вершина, |
||||||||||||
соединяющее эти |
|
|
|
|
|
являющаяся общим |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
вершины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
концом этих ребер |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вершина x и ребро g инцидентны
- вершина x является концом ребра g |
2 |
|
Неориентированные графы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G X ,U |
|
X |
|
n, |
|
U |
|
m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вершина x изолированная, если она не имеет смежных вершин
p x |
- степень вершины x (количество ребер, |
|
|
инцидентных вершине x) |
|
Утверждение 1 |
p x 2m |
|
|
|
x X |
Утверждение 2 |
Количество вершин |
|
|
|
нечетной степени четно |
3
Неориентированные графы
Граф |
G X ,U |
есть пустой граф, если U |
|||
Обозначение: |
On |
|
|
O3 |
|
Граф |
G X ,U есть полный граф, если все |
||||
его вершины смежны |
|
K3 |
|||
Обозначение: |
Kn |
|
|||
|
|
||||
Граф |
G X ,U |
есть двудольный граф, если |
|||
X X1 X 2 , X1 X 2 ,
причем вершины каждой доли несмежны. Полный двудольный Kn,m
Матрицы неориентированных графов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G X ,U |
|
X |
|
n |
|
U |
|
m |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица смежности |
A n n |
|
1, x |
смежна x |
|
|
|
||
|
aij |
0, xi |
несмежнаj |
x |
j |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Матрица инцидентности |
|
B n m |
|
||||
|
1, |
вершина x |
инцидентна ребру u |
|
|||
bij |
0, |
вершина xi |
неинцидентна ребру ju |
j |
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
5
Матрица достижимости
Матрица |
A2 |
|
Oперации |
|
|
|||
|
n |
сложения и умножения |
||||||
|
x |
y |
x+y |
xy |
||||
aij2 aik akj |
||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
k 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||||
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
i, j 1, n |
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||
Матрица |
R E A A2 A3 ... |
|
|||
достижимости |
|
||||
1, |
из вершины x |
достижима x |
|
|
|
rij 0, |
из вершины xi |
недостижима j x |
j |
|
|
|
|
i |
|
6 |
|
Изоморфизм и планарность графов
Изоморфные графы |
|
||||
|
X ,U |
|
|
|
|
Графы G |
|
и G |
X ,U называются |
||
изоморфными , если существует биекция |
|||||
сохраняющяя отношение смежности. |
f : G G , |
||||
f : G G |
|
Обозначение: |
G G |
||
|
|
|
|
||
1)
2)
3)
|
X |
|
|
|
X |
|
f : X X |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
f : U U |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x, y U f x , f y U |
||||||||||||
7
Изоморфизм и планарность графов
Теорема 1 G |
G |
матрица смежности |
A |
|||
может быть получена из матрицы смежности |
A |
|||||
одинаковыми перестановками строк и столбцов. |
||||||
G G биекция f : G G , причем: |
||||||
a 1 |
a |
|
1 |
|
||
ij |
|
|
f i f j |
|
|
|
f |
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1 f 2 f n |
|
|
|||
Теорема 2 G 
G матрицы инцидентности B иB могут быть получены друг из друга
перестановками строк и столбцов.
8
Изоморфизм и планарность графов
Планарные графы
Граф G X ,U называется картой (плоским графом), если он
изображен на плоскости без самопересечений ребер.
Граф G X ,U называется планарным, если существует изоморфная ему карта.
G 
G
9
Изоморфизм и планарность графов
Теорема (Понтрягина-Куратовского) . Граф G
планарен тогда и только тогда, когда в нем нет подграфа, который можно сжать до K5 или K3,3
K5 |
K3,3 |
10