инфа / Новый учебник информатики (3 поколение)

31

Операция XOR, которую называют суммой по модулю два или исключительным или, дает результат 1 в том случае, если только один из ее операндов имеет значение 1.

Операция NAND, которую называют еще стрелкой Пирса, представляет собой инверсию операции AND:

A NAND B NOT ( A AND B) AB.

Операция NOR (штрих Шеффера) представляет собой инверсию операции OR:

A NOR B NOT (A OR B) A B.

Эти три новые функции активно используются при проектировании цифровых схем.

Т а б л и ц а 5

Булевы логические операции

В табл. 6 перечислены основные тождества булевой алгебры. Два столбца таблицы отражают двойственность и взаимодополняемость операций AND и OR. Существуют два класса тождеств: базовые, или постулаты, которые принимаются без доказательств, и производные от постулатов.

34

Набор AND, OR и NOT является функционально полным. Тогда и множество AND и NOT также является функционально полным, поскольку функцию OR можно сформировать из этих двух функций, пользуясь одним из правил де Моргана:

A B A B .

Аналогично, но с помощью другой формулы де Моргана, можно показать, что набор OR, NOT является функционально полным, поскольку с помощью этих двух функций можно реализовать функцию

AND.

На рис. 1.8 показано, как с помощью вентилей NAND можно реализовать логические функции AND, OR и NOT.

Рис. 1.8. Использование вентилей NAND

На рис. 1.9 показано, как можно реализовать логические функции AND, OR и NOT с помощью вентилей NOR.

Из всего этого следует вывод: логическую схему, реализующую любую логическую функцию, можно построить из вентилей только одного типа, что часто используется на практике.

35

Рассматривая простейшие логические элементы, мы вышли на самый нижний уровень проблем, которые составляют предмет исследований в компьютерных науках. Далее идут вопросы реализации вентилей с помощью электронных компонентов – транзисторов, резисторов и т.д., а это уже предмет не столько компьютерных наук, сколько электроники и электротехники.

Рис. 1.9. Использование вентилей NOR

6.3. Комбинационные схемы

Комбинационная логическая схема представляет собой объединение множества вентилей, и значения выходных сигналов такой схемы в каждый момент времени зависят только от значений сигналов на входах и никак не связаны с предысторией.

В общем случае комбинационная схема имеет n двоичных входов и m двоичных выходов. Функциональные возможности конкретной комбинационной схемы можно описать тремя способами:

Посредством таблицы истинности, в которой будут пред-

ставлены значения набора из m выходных сигналов для каждой из 2n возможных комбинаций входных сигналов.

36

Посредством электрической функциональной схемы, на ко-

торой будут изображены вентили и их соединения.

С помощью булева выражения, точнее набора булевых вы-

ражений для каждого из m выходов, операндами которых будут n входов.

Любую булеву функцию можно реализовать в виде соединения вентилей. Как правило, одну и ту же таблицу истинности могут иметь разные булевы выражения, или, другими словами, одна и та же таблица истинности может быть по-разному представлена в виде комбинации элементарных операций.

Например, таблица истинности для трех переменных (табл. 7):

Т а б л и ц а 7

Таблица истинности функции трех переменных

Самый простой способ представить булеву функцию в виде комбинации элементарных функций – просуммировать конъюнктивные члены, обращающие функцию в 1:

Такая форма представления называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Вот как реализуется полученная ДНФ с помощью вентилей AND, OR и NOT (рис. 1.10).

37

Рис. 1.10.

Реализация дизъюнктивной нормальной формы логической функции

Другая форма представления также может быть получена непосредственно из таблицы истинности. ДНФ выражает тот факт, что значение функции будет равно 1, если любой из членов дизъюнкции равен 1. Но можно также сказать, что значение функции будет равно 1, если ни один из членов конъюнкции не равен 0. Следовательно:

Это выражение можно переписать, воспользовавшись правилами де Моргана:

Тогда

(2)

Такая форма представления логической функции называется

конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Ее реализация с помо-

щью элементарных вентилей показана на рис. 1.11 ниже. На схеме не показаны вентили NOT, и предполагается, что доступны как истинные значения входных сигналов, так и их инверсии.

38

Рис. 1.11. Реализация конъюнктивной нормальной формы логической функции

Таким образом, мы пришли к выводу, что любая логическая функция может быть представлена либо в виде ДНФ, либо в виде КНФ. На первый взгляд кажется, что выбор между этими двумя формами представления следует делать на основании подсчета количества значений 0 и 1 в выходной колонке таблицы истинности – количество членов ДНФ соответствует количеству значений 1, а количество членов КНФ – количеству значений 0. Но чаще при проектировании логических схем принимают во внимание другие соображения.

•В общем случае возможно получить более простое выражение, чем то, которое дает и ДНФ, и КНФ.

•Иногда предпочтительнее искать выражение, которое можно реализовать с помощью вентилей только одного типа.

В первом случае следует ожидать, что более простое логическое выражение будет и реализовано меньшим количеством вентилей. Существует несколько методов упрощения логических выражений, из которых мы рассмотрим два:

•алгебраический;

•с помощью карт Карно.

39

6.3.1. Алгебраические методы упрощения логических выражений

Алгебраические методы основаны на тождествах булевой алгебры, приведенных в табл. 5. Вернемся к выражению (1). Несложно самостоятельно прийти к выводу, что эквивалентное выражение будет иметь вид

но и его можно упростить:

F B( A C) .

На рис. 1.12 показана схема, реализующая это выражение:

Рис. 1.12. Упрощенная реализация функции (3)

Конечно, такое упрощение функций основано, скорее, на опыте и интуиции проектировщика, чем на систематической методике, а потому данный метод применяется только в самых простых случаях.

6.3.2.Карты Карно

Спомощью карт Карно довольно удобно упрощать булевы функции небольшого числа переменных (теоретически – не более

шести, а практически – четырех). Карта для задания функции, зависящей от n переменных, это таблица из 2n клеток, в которых представлены значения функции для всех возможных комбинаций значений переменных. На рис. 1.13, а показана карта из четырех клеток для представления функции двух переменных. Удобно перечислять комбинации значений переменных в виде двоичных чисел 00, 01, 10, 11. Комбинации обычно записываются на внешнем поле карты. Карта для представления функции трех переменных состоит из восьми клеток (рис. 1.13, б), и значения одной из переменных записываются сле-

40

ва от поля карты, а двух других – над картой. Для функции четырех переменных понадобится 16 клеток, как показано на рис. 1.13, в.

Булева функция представляется в карте Карно следующим образом. Каждая клетка, в которой проставлено значение 1, соответствует определенному конъюнктивному члену в ДНФ функции. В этот конъюнктивный член входят переменные, имеющие значение 1 в комбинации для этой клетки, и инверсии переменных, имеющих в

комбинации для этой клетки значение 0. Так, конъюнкция A B соответствует четвертой клетке в карте, показанной на рис. 1.13, а. Полностью функция двух переменных, заданных этой картой, имеет вид

AB AB .

Первоначально карта заполняется на основании имеющейся таблицы истинности синтезируемой функции. Карта, показанная на рис. 1.13, б, составлена в соответствии с таблицей истинности, представленной в табл. 6.

Если необходимо заполнить карту для функции, заданной некоторым булевым выражением, то сначала это выражение нужно привести к канонической форме, т.е. к форме, в каждом члене которой будут присутствовать все переменные, а уже затем приступить к заполнению клеток карты Карно.

Маркировка карты, показанная на рис. 1.13, г, подчеркивает соответствие между переменными и столбцами и строками карты. Клетки двух строк, объединенных меткой А, будут содержать значения функции на тех наборах значений переменных, в которых переменная А равна 1, а клетки двух других строк будут содержать значения функции на тех наборах значений переменных, в которых переменная А равна 0.