инфа / Новый учебник информатики (3 поколение)

91

В пропущенных клетках находятся малоупотребительные символы и здесь не приводятся.

92

Глава 2. СИСТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ MathCAD

ВВЕДЕНИЕ.

Как известно, первоначально компьютер задумывался как инструмент для научно-технических расчетов. Со временем спектр применений компьютера (особенно с появлением персонального компьютера) существенно расширился. Однако традиционные расчетно-ана- литические задачи по-прежнему активно решаются с помощью компьютера. Для этих целей создаются так называемые CAD-системы (Computer Aided Designing). Одной из них и является система MathCAD, ориентированная на решение математических задач, причем как в аналитическом (символьном), так и числовом виде. Кроме того, MathCAD содержит и функционально полный набор встроенных операторов структурного программирования, что позволяет реализовывать сколь угодно сложные алгоритмы и создавать MathCADпрограммы в стиле традиционных языков программирования высокого уровня.

Система MathCAD постоянно совершенствуется. В настоящее время имеется уже версия 14 этой системы. Мы будем здесь рассматривать портативную версию такой системы, поскольку она не требует специальной установки на компьютер (досаточно просто скопировать ее на жесткий диск компьютера). Заметим, что в более современных версиях появляются все более новые форматы сохранения результатов в файле. Однако имеется возможность сохранять и в форматах предыдущих версий. Поэтому, если требуется просматривать результаты в более ранних версиях, то следует позаботиться о сохранении результатов в соответствующем формате.

Запуск системы MathCAD обычно производится из той папки, куда вы скопировали упомянутую портативную систему. Для собственно запуска системы следует запустить приложение Mathcad14.

В систему MathCAD интегрировано несколько взаимосвязанных компонентов – редакторов и процессоров.

Формульный редактор обеспечивает ввод, редактирование и отображение математических и логических выражений в общепринятой математической нотации.

93

Текстовый редактор играет вспомогательную роль, давая возможность размещать комментарии непосредственно в тексте MathCADпрограмм.

Вычислительный процессор производит интерпретацию математических выражений и вычисление их результатов.

Процессор символьных преобразований тоже обрабатывает матема-

тические выражения, однако, в отличие от вычислительного процессора, он не вычисляет результаты выражений, а производит их преобразование – например, дифференцирование, интегрирование и т.п. Этот процессор используется для оптимизации исходных выражений для их последующей обработки вычислительным процессором.

Графический процессор предоставляет средства графического отображения результатов вычисления и графического анализа данных

Инструменты, используемые в системе MathCAD, размещены в отдельных панелях инструментов. Основные их них приведены на рис.2 справа. Чтобы вызвать эти панели, достаточно дать команду View/Toolbars и поставить соответствующую «птичку». Заметим, что обычно, по умолчанию, открыты только три панели: Standart, Formatting, Math, а уже на последней размещены кнопки для вызова остальных панелей (см. рис. 1)

Графики

Калькулятор

Матрица

Исчисление

Логика

Рис. 1. Панель Math с кнопками для открытия других панелей

Панель Калькулятор, например, содержит кнопки основных математических операций и функций.

Панель Матрица – содержит необходимые инструменты для матричных операций.

Панель Логика - содержит основные логические операции. Панель Графики предоставляет возможности для построения гра-

фиков Панель Исчисление дает возможность провести дифференцирова-

ние, интегрирование, вычисление сумм и др.

94

1. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Особый класс (и особую трудность) представляют так называемые матричные задачи. Как известно, вычисление определителей, обратных матриц, выполнение операций матричной алгебры является весьма трудоемкими операциями. В то же время в реальных инженерных задачах это требуется достаточно часто (например, при решении систем линейных уравнений, задач оптимизации и т.п.). В системе MathCAD имеется целый ряд встроенных операций по работе с матрицами.

Пример 1-1. Решить систему линейных уравнений

10x1 –7x2 = 7

–3x1 –2x2 +6x3 = 4 5x1 – x2 + 5x3 = 6

Чтобы решить такую систему, следует (см. рис.2) :

1) определить матрицу коэффициентов системы А. Для этого:

-стать на свободное место в окне MathCAD и нажать на клавиатуре A и двоеточие (возникнет знак присваивания), а затем на панели

Матрица нажать значок Матрица или Вектор

-в результате возникнет окно диалога для задания размера матрицы (указать 3 на 3)

-в возникшем окошке вводить нужные числа (см. рис. 3)

2)аналогично зададим вектор правых частей системы (обозначим b), состоящий из трех строк и одного столбца

3)записать решение системы в матричном виде

x:= A-1 * b

(для задания обратной матрицы следует использовать на панели

Матрица значок Инверсия)

4)чтобы получить значения вектора-результата следует набрать x и знак «равно» (см. рис.2)

5)следует также провести проверку – перемножить вектор x на матрицу A (присвоить это произведение, например, переменной y) и посмотреть результат y.

95

Рис.2 Постановка задачи на решение системы линейных уравнений (в матричном виде).

96

Рис. 2 Решение системы линейных уравнений в матричном виде.

Для решения систем линейных уравнений используют и так называемое правило Крамера. Суть его в том, что для заданной системы ищут главный определитель матрицы коэффициентов и побочные определители матриц, которые получаются при замене каждого столбца на вектор правых частей (свободных членов). Корни системы есть отношение каждого из этих дополнительных определителей к главному

98

Использование других матричных операций (сложение, умножение матриц, получение транспонированной матрицы) также не вызывает трудностей

Индивидуальные задания.

Решить систему двумя методами – методом обратной матрицы и по правилу Крамера

99

2. ГРАФИКИ И РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Одна из весьма сильных возможностей MathCAD – представление результатов расчетов в графическом виде. Чаще всего это используется при построении графиков функций.

При работе с графикой активно используются так называемые ранжированные переменные. Они содержат ряд числовых значений, задаваемых арифметической прогрессией. Для определения ранжированной переменной задают 1-й, 2-й и последний элементы. При этом первый от второго отделяются запятыми, а последний – через точку с запятой (на экране при этом отображается две точки). Разность между первым и вторым элементами и задает шаг изменения ранжированной переменной (разность арифметической прогрессии) Если второй элемент опущен, то шаг изменения ранжированной переменной считается равным единице.

100

Важное свойство ранжированной переменной состоит в том, что если такая переменная используется в выражении, то такое выражение будет вычисляться автоматически столько раз, сколько значений принимает эта переменная.

Пример 2-1. Для заданного х от –10 до 10 получить значения функции y=x2 и построить график такой функции.

x: -10;10

y[x: x (нажать символ x2 на панели Калькулятор)

(при этом, возможно понадобится сменить ORIGIN – начальное значение для ранжированной переменной:

командой Инструменты/Парамет ры рабочего стола на вкладке

Встроенные переменные указать ORIGIN

не с нуля а от –10). Надо отметить, что на самом деле мы здесь задаем просто массив y, у которого

x является индексом

y[x =

После этого получим набор значений y (см. справа). Полученную табличку можно растянуть вниз, чтобы увидеть

остальные значения (в данном случае до 102)

Теперь построим график y(x)=x2

Для этого на панели Графики выберем первый значок

X-Y график (или нажать Shift-2)

@